Algebraische Substitution für elektrische Schaltungen

Übung Boolsche Algebra - Terme vereinfachen - Digitaltechnik - Elektrotechnik in 5 Minuten #ET5M (March 2019).

Anonim

Algebraische Substitution für elektrische Schaltungen

Mathematik für Elektronik


Frage 1

Es gibt zwei grundlegende Gleichungen für das Ohmsche Gesetz: eine Beziehung zwischen Spannung, Strom und Widerstand; und die andere bezieht sich auf Spannung, Strom und Leistung (die letztere Gleichung wird manchmal als Joulsches Gesetz und nicht als Ohmsches Gesetz bezeichnet):

E = IR

P = IE

In elektronischen Lehrbüchern und Nachschlagewerken finden Sie zwölf verschiedene Variationen dieser zwei Gleichungen, wobei eine für jede Variable in Bezug auf ein eindeutiges Paar von zwei anderen Variablen gelöst wird. Sie müssen jedoch nicht alle zwölf Gleichungen auswendig lernen, wenn Sie die beiden oben gezeigten einfachen Gleichungen algebraisch manipulieren können.

Zeigen Sie, wie Algebra verwendet wird, um die zehn anderen Formen der beiden hier gezeigten Gleichungen des Ohmschen Gesetzes / Jouleschen Gesetzes abzuleiten.

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Ich werde Ihnen nicht zeigen, wie man die algebraischen Manipulationen durchführt, aber ich werde Ihnen die zehn anderen Gleichungen zeigen. Zuerst die Gleichungen, die streng aus E = IR abgeleitet werden können:

Ich = E


R

R = E


ich

Als nächstes die Gleichungen, die streng aus P = IE abgeleitet werden können:

Ich = P


E

E = P


ich

Als nächstes werden jene Gleichungen, die abgeleitet werden können, indem eine algebraische Substitution zwischen den ursprünglichen zwei Gleichungen verwendet wird, die in der Frage gegeben sind:

P = I 2 R

P = E 2


R

Und schließlich die Gleichungen, die sich aus der Manipulation der letzten beiden Potenzgleichungen ergeben:

R = P


I 2

Ich = √


P


R

E =


PR

R = E 2


P

Anmerkungen:

Algebra ist ein äußerst wichtiges Werkzeug in vielen technischen Bereichen. Eine schöne Sache über das Studium der Elektronik ist, dass es einen relativ einfachen Kontext bietet, in dem fundamentale algebraische Prinzipien gelernt (oder zumindest beleuchtet) werden können.

Dasselbe gilt auch für Kalkülkonzepte: Grundprinzipien von Ableitung und Integral (in Bezug auf die Zeit) können leicht auf Kondensator- und Induktorschaltungen angewendet werden, was den Studenten einen zugänglichen Kontext bietet, in dem diese ansonsten abstrakten Konzepte verstanden werden können. Aber Kalkül ist ein Thema für spätere Arbeitsblattfragen. . .

Frage 2

Der Q-Faktor einer induktiven Reihenschaltung ist durch die folgende Gleichung gegeben:

Q = X L


R- Serie

Ebenso wissen wir, dass die induktive Reaktanz durch die folgende Gleichung gefunden werden kann:

X L = 2 & pgr; f L

Wir wissen auch, dass die Resonanzfrequenz einer LC-Reihenschaltung durch diese Gleichung gegeben ist:

fr = 1


2 π


LC

Schreiben Sie durch algebraische Substitution eine Gleichung, die den Q-Faktor eines LC-Schaltkreises ausschließlich in Bezug auf L, C und R ohne Bezug auf Reaktanz (X) oder Frequenz (f) angibt.

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Q = 1


R

 √


L


C

Anmerkungen:

Dies ist nur eine Übung in der Algebra. Das Wissen, wie diese drei Komponentenwerte den Q-Faktor eines Resonanzkreises beeinflussen, ist jedoch eine wertvolle und praktische Erkenntnis!

Frage 3

Wir wissen, dass der Strom in einer Reihenschaltung mit dieser Formel berechnet werden kann:

Ich = E insgesamt


R total

Wir wissen auch, dass die über einen einzelnen Widerstand in einer Reihenschaltung abfallende Spannung mit dieser Formel berechnet werden kann:

E R = IR

Kombiniere diese beiden Formeln zu einer, so dass die I-Variable eliminiert wird und nur E R übrigbleibt, ausgedrückt als E total, R total und R.

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E R = E gesamt  R


R total

 

Follow-up-Frage: Algebraisch manipulieren Sie diese Gleichung, um für E total in Bezug auf alle anderen Variablen zu lösen. Mit anderen Worten, zeigen Sie, wie Sie für den Betrag der Gesamtspannung berechnen können, die notwendig ist, um einen spezifizierten Spannungsabfall (E R ) über einen spezifizierten Widerstand (R) unter Berücksichtigung des Gesamtschaltkreiswiderstands (R total ) zu erzeugen.

Anmerkungen:

Obwohl diese "Spannungsteiler-Formel" in einer beliebigen Anzahl von elektronischen Nachschlagewerken gefunden werden kann, müssen Ihre Schüler verstehen, wie sie die gegebenen Formeln algebraisch manipulieren können, um zu diesem zu gelangen.

Frage 4

Substitution ist eine Technik, bei der eine Variable eine andere Variable oder einen Ausdruck aus anderen Variablen repräsentiert (an der Stelle davon steht). Eine Anwendung, bei der wir Substitution verwenden können, ist, wenn wir einen algebraischen Ausdruck manipulieren müssen, der eine Menge ähnlich aussehender Variablen enthält, wie es oft bei wissenschaftlichen Problemen der Fall ist.

Nehmen Sie diese seriell-parallele Widerstandsschaltung zum Beispiel:

Die Gleichung, die den Gesamtwiderstand als eine Funktion der vier Widerstandswerte ausdrückt, sieht folgendermaßen aus:

R gesamt = R 1 + R 2 (R 3 + R 4 )


R² + R³ + R & sup4 ;.

Stellen Sie sich nun vor, dass Sie gebeten werden, diese Gleichung zu manipulieren, um nach R 3 zu suchen. Wenn das einzige visuelle Merkmal, das jede der Variablen unterscheidet, der Index ( total, 1, 2, 3 oder 4 ) ist, wird es sehr leicht, den Überblick darüber zu verlieren, wo man in der algebraischen Manipulation ist. Ein sehr häufiger Fehler besteht darin, Indizes während des Prozesses auszutauschen oder unnötigerweise zu wiederholen, was effektiv eine oder mehrere Variablen falsch platziert. Um solche Fehler zu vermeiden, können Sie verschiedene Buchstabenvariablen für R total, R 1, R 2, R 3 und R 4 folgendermaßen ersetzen :

Ersatztabelle


Ursprüngliche VariableNeue Variable


R totaly


R 1ein


R 2b


R 3c


R 4d


y = a + b (c + d)


b + c + d

Nach der algebraischen Manipulation zur Lösung von c (R 3 ) sieht die Gleichung so aus:

c = (y-a) (b + d) - bd


a + b - y

Ersetzen Sie die ursprünglichen R-Variablen anstelle von a, b, c, d und y wie in der obigen Gleichung, um zu einer Form zu gelangen, die sich direkt auf das schematische Diagramm bezieht.

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R 3 = (R total -R 1 ) (R 2 + R 4 ) - R 2 R 4


R 1 + R 2 - R total

Challenge Frage: Zeigen Sie alle Schritte, die Sie für die Lösung von R 3 in der ursprünglichen Gleichung durchführen würden.

Anmerkungen:

Hier zeige ich eine Anwendung der Substitution, die nur deshalb nützlich ist, weil das menschliche Gehirn Schwierigkeiten hat, ähnlich aussehende Symbole zu unterscheiden. Natürlich gibt es stärkere Anwendungen der algebraischen Substitution, aber dies ist ein Anfang für Studenten, die das Konzept noch nie zuvor gesehen haben.

Frage 5

Substitution ist eine Technik, bei der eine Variable eine andere Variable oder einen Ausdruck aus anderen Variablen repräsentiert (an der Stelle davon steht). Eine Anwendung, in der wir Substitution verwenden können, ist, wenn wir einen algebraischen Ausdruck bearbeiten müssen, der mehrere Instanzen desselben Unterausdrucks enthält. Nehmen wir zum Beispiel an, wir müssten diese Gleichung manipulieren, um nach c zu suchen:

1 = a + b (d 2 - f 2 ) + c


d 2 - f 2

Der Unterausdruck d 2 - f 2 erscheint in dieser Gleichung zweimal. Wäre es nicht schön, wenn wir in der Zeit, in der wir die Gleichung manipulierten, etwas Einfacheres hätten, als nur aus weniger Gründen Variablen auf unserem Papier zu schreiben und alle Schritte zu unserer Arbeit zu zeigen? # 5 "> Antwort anzeigen Antwort ausblenden

Originalgleichung:

1 = a + b (d 2 - f 2 ) + c


d 2 - f 2

Nach dem Ersetzen von x:

1 = a + bx + c


x

Nach der Manipulation der Gleichung für c lösen:

c = x (1-b) - a

Zurücksetzen des ursprünglichen Unterausdrucks anstelle von x:

c = (d²-f²) (1-b) - a

Anmerkungen:

Hier zeige ich eine Anwendung der Substitution, die nur nützlich ist, weil das menschliche Gehirn es leichter hat, sich mit einem einzelnen Symbol zu befassen als mit einer Sammlung verschiedener Symbole. Natürlich gibt es stärkere Anwendungen der algebraischen Substitution, aber dies ist ein Anfang für Studenten, die neu in dem Konzept sind.

Frage 6

Substitution ist der Ausdruck, den wir der mathematischen Äquivalenz einer Variablen zu einer oder mehreren anderen Variablen in einem Ausdruck geben. Es ist ein grundlegendes Prinzip, das verwendet wird, um zwei oder mehr Gleichungen (unter anderem) in eine einzige Gleichung zu kombinieren.

Zum Beispiel wissen wir, dass die Formel zur Berechnung des Stroms in einer einfachen Ein-Widerstand-Schaltung wie folgt lautet:

Wir wissen auch, dass der Gesamtwiderstand (R) einer Drei-Widerstands-Reihenschaltung wie folgt ist:

Kombiniere diese beiden Gleichungen zusammen unter Verwendung einer Substitution, so dass wir eine einzige Gleichung zum Berechnen des Stroms I in einer Drei-Widerstands-Reihenschaltung bei gegebener Quellenspannung V und jedem Widerstandswert R 1, R 2 und R 3 haben :

Mit anderen Worten, Sie müssen als Antwort eine einzelne Gleichung haben, die mit "I =" beginnt und alle Variablen V, R 1, R 2 und R 3 auf der anderen Seite des "Gleichheits" -Zeichens hat.

Antwort enthüllen Antwort verstecken

Ich = V


R 1 + R 2 + R 3

Anmerkungen:

Ich spreche gerne über den Prozess der Substitution in Form von Definitionen für Variablen. In diesem besonderen Fall ist R 1 + R 2 + R 3 eine Definition für R, die wir in die erste Gleichung (I = V / R ) in R einfügen.

Die in dem dritten Schema gezeigte Notation, I = f (V, R 1, R 2, R 3 ), ist als Funktionsnotation bekannt . Es bedeutet lediglich, dass der Wert von I durch die Werte all dieser Variablen innerhalb der Klammern bestimmt wird und nicht nur durch eins.

Frage 7

Wir wissen, dass die Spannung in einer Parallelschaltung mit dieser Formel berechnet werden kann:

E = I Gesamt R gesamt

Wir wissen auch, dass der Strom durch jeden einzelnen Widerstand in einer Parallelschaltung mit dieser Formel berechnet werden kann:

I R = E


R

Kombiniere diese beiden Formeln zu einer einzigen, so dass die E-Variable eliminiert wird und nur I R übrigbleibt, ausgedrückt als I total, R total und R.

Antwort enthüllen Antwort verstecken

I R = I insgesamt  R total


R

 

Wie ist diese Formel ähnlich und wie unterscheidet sie sich von der "Spannungsteiler" -Formel "Notizen versteckt"> Hinweise:

Obwohl diese "Stromteiler-Formel" in einer beliebigen Anzahl von elektronischen Nachschlagewerken gefunden werden kann, müssen Ihre Schüler verstehen, wie sie die gegebenen Formeln algebraisch manipulieren können, um zu diesem zu gelangen.

Zunächst mag es so erscheinen, als ob die beiden Teilerformeln (Spannung gegen Strom) leicht zu verwechseln wären. Ist es (R / (R total )) oder ((R total ) / R)? Es gibt jedoch eine sehr einfache Möglichkeit, sich daran zu erinnern, welcher Anteil zu welcher Formel gehört, basierend auf dem numerischen Wert dieser Fraktion. Erwähnen Sie dies Ihren Schülern und mindestens einer von ihnen wird sicher sein, das Muster zu erkennen.

Frage 8

Angenommen, wir wüssten nur die Emitter- und Basisströme für einen arbeitenden Transistor und wollten β aus dieser Information berechnen. Wir würden eine Definition von Beta-Cast in Bezug auf I E und I B anstelle von I C und I B benötigen.

Wenden Sie eine algebraische Substitution auf die Formel β = ((I C ) / (I B )) an, so dass Beta (β) in Bezug auf I E und I B definiert ist . Sie können die folgende Gleichung hilfreich für Ihre Arbeit finden:

I E = I C + I B

Antwort enthüllen Antwort verstecken

β = Ich


Ich B

- 1

Anmerkungen:

Diese Frage ist nichts weiter als eine Übung in der algebraischen Manipulation.

Frage 9

Der Widerstand eines Stückes Kupferdraht bei der Temperatur T (in Grad Celsius) ist durch die folgende Formel gegeben:

R T = R 0 (1 + 0, 004041 (T - 20))

Nehmen wir an, Sie wollten diese Formel so ändern, dass sie Werte für T in Grad Fahrenheit anstelle von Grad Celsius annehmen kann. Angenommen, die einzige Formel, die Sie zum Konvertieren zwischen Fahrenheit (T F ) und Celsius (T C ) finden können, ist folgende:

T F = T C  9


5

  + 32

Kombiniert diese beiden Formeln zu einer Lösung für den Widerstand einer Kupferdrahtprobe (R T ) bei einer spezifischen Temperatur in Grad Celsius (T C ), wobei der "Referenz" -Widerstand (R o ) der Probe bei 20 ° C (Raumtemperatur) angegeben wird .

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R T = R o  1 + 0, 004041  5


9

T F - 37.


77

  

Anmerkungen:

Die Lösung dieses algebraischen Problems erfordert sowohl die Manipulation der Temperaturgleichung als auch die Substitution von Variablen. Ein wichtiges Detail, das ich in diese Frage einbezogen habe, ist das Fehlen eines Indexes für T in der ursprünglichen Widerstandsformel. Im ersten Satz identifiziere ich diese Temperatur in Grad Celsius, aber da es keine anderen T-Variablen in der Gleichung gibt, musste ich keinen "C" -Index verwenden. Wenn Schüler auf die Celsius-Fahrenheit-Umrechnungsformel achten, um sie in die Widerstandsformel zu ersetzen, müssen sie entscheiden, welches T in der Umrechnungsformel zu verwenden ist, T F oder T C. Hier schrieb ich absichtlich die Umrechnungsformel in Bezug auf T F, um zu sehen, wie viele Studenten T F für T in der Widerstandsformel blind ersetzen, anstatt T C als die Variable zu identifizieren, die die Arbeit der Manipulation ersetzt und durchführt.

Weit davon entfernt, eine "Trick" -Frage zu sein, ist dieses Szenario sehr realistisch. Formeln, die in Referenzhandbüchern gefunden werden, verwenden nicht notwendigerweise standardisierte Variablen, sondern werfen ihre Variablen entsprechend dem Kontext aus. Mehrere Formeln werden höchstwahrscheinlich nicht mit identischen subskribierten Variablen geschrieben, die nur darauf warten, ersetzt zu werden. Es ist die Domäne des intelligenten Technikers, Ingenieurs oder Wissenschaftlers, herauszufinden, welche Variablen geeignet sind, basierend auf dem Kontext zu ersetzen!

Frage 10

Ein Bipolartransistor-Parameter, der ähnlich zu β ist, ist älpha, "symbolisiert durch den griechischen Buchstaben α. Es ist definiert als das Verhältnis zwischen Kollektorstrom und Emitterstrom:

α = Ich C


Ich

Wenden Sie eine algebraische Substitution auf diese Formel an, so dass Alpha als eine Funktion von Beta definiert ist: α = f (β). Mit anderen Worten, ersetze und manipuliere diese Gleichung, bis du auf einer Seite Alpha und auf der anderen Seite keine Variable außer Beta hast.

Sie können die folgenden Gleichungen hilfreich für Ihre Arbeit finden:

β = Ich C


Ich B

I E = I C + I B

Antwort enthüllen Antwort verstecken

α = β


β + 1

Folgefrage: Welchen Wertebereich könnte man für α mit einem typischen Transistor erwarten?

Anmerkungen:

Diese Frage ist nichts weiter als eine Übung in der algebraischen Manipulation.

Frage 11

Der Q oder Qualitätsfaktor einer Induktorschaltung ist durch die folgende Gleichung definiert, wobei X s die induktive Reaktanz der Reihe und R s der Reihenwiderstand ist:

Q = X s


R s

Wir wissen auch, dass wir zwischen Serien- und parallelen äquivalenten Wechselstromnetzen mit den folgenden Umwandlungsgleichungen konvertieren können:

R s R p = Z 2 X s X p = Z 2

Reihen- und Parallel-LR-Netzwerke sollten, wenn sie wirklich äquivalent sind, den gleichen Q-Faktor teilen und dieselbe Impedanz teilen. Entwickeln Sie eine Gleichung, die den Q-Faktor einer parallelen LR-Schaltung löst.

Antwort enthüllen Antwort verstecken

Q = R p


X p

Follow-up-Frage: Welcher Zustand ergibt den größten Wert für Q, einen niedrigen Parallelwiderstand oder einen hohen Parallelwiderstand? // www.allaboutcircuits.com/textbook/alternating-current/chpt-3/series-resistor-inductor-circuits/ "> Serie LR-Schaltung und erklären beide Szenarien.

Anmerkungen:

Dies ist in erster Linie eine Übung in der algebraischen Substitution, aber es fordert auch die Schüler heraus, tief über das Wesen von Q nachzudenken und was es bedeutet, besonders in der Nachfolgefrage.

Frage 12

Die Gleichung, die die Wahrscheinlichkeit der fortgesetzten Leistung für eine Komponente oder ein System gegen die Zeit beschreibt, kann wie folgt ausgedrückt werden:

x = e- t / m

Woher,

x = Wahrscheinlichkeit (eine Zahl zwischen 0 und 1, inklusive)

e = Eulers Konstante (≈ 2.7182818)

t = Zeit des kontinuierlichen Betriebs

m = Mittlere Zeit zwischen dem Ausfall der Komponente oder des Systems

Die Zeiteinheit für t und m muss gleich sein. Das heißt, wenn t in Jahren gemessen wird, dann muss m auch in Jahren ausgedrückt werden, sonst liefert die Gleichung sehr irreführende Antworten.

Angenommen, wir erhielten m in Jahren und die Betriebszeit t in Tagen . Ersetzen Sie die Beziehung t d = 365 t y in die Zuverlässigkeitsgleichung, so dass wir eine neue Gleichung haben, die t in Tagen (t d ) und m in Jahren annehmen kann und immer noch die richtige Antwort liefert.

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x = e- t d / 365 m

Anmerkungen:

Dies ist wirklich nichts anderes als eine einfache Übung in der mathematischen Substitution.

Die Gleichung stammt aus dem Standardhandbuch für technische Berechnungen von Tyler G Hicks, PE (1972), Seite 5-21.

Frage 13

Die spannungsabhängige Kapazität einer Varaktordiode ist durch die folgende Gleichung gegeben:

C j = C o



2V + 1

Woher,

C J = Sperrkapazität

C o = Sperrkapazität ohne angelegte Spannung

V = Angewandte Sperrschichtspannung

Kombinieren Sie diese Gleichung mit der Standardgleichung für die Frequenz in einem LC-Resonanzkreis, um zu einer neuen Gleichung zu gelangen, die die Resonanzfrequenz in Form von C o, V und L angibt.

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fr = 1


2 π √


LC o


√ {2V + 1}

Anmerkungen:

Fragen Sie Ihre Schüler, für welche Art von Schaltung diese Gleichung gelten könnte.

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