Das Bartlett gegen das rechteckige Fenster

Gegen Propaganda und Regimechange in Syrien (German Subtitles) Ft Eva Bartlett (September 2018).

Anonim

Das Bartlett gegen das rechteckige Fenster


In diesem Artikel werden wir die Tatsache diskutieren, dass die Wahl verschiedener Fensterfunktionen einen Kompromiss zwischen der Hauptkeulenbreite und der Spitzenseitenkeule (PSL) beinhaltet.

Hintergrund

Um mehr Einblick zu gewinnen, werden wir die Fourier-Transformation eines dreieckigen Fensters mit der Fourier-Transformation eines rechteckigen Fensters berechnen. Die Verbindung zwischen diesen beiden Fenstern hilft uns, den Trade-off-Prozess besser zu verstehen, wenn Sie zwischen verschiedenen Fensterfunktionen wählen.

Im ersten Artikel dieser Reihe haben wir gesehen, dass das Abschneiden der Impulsantwort eines idealen Filters der Multiplikation der Impulsantwort mit einem rechteckigen Fenster entspricht. Die Fourier-Transformation der abgeschnittenen Impulsantwort wird Wellen im Durchlaßband und im Sperrband zeigen. Darüber hinaus wird das Übergangsband des erzielten Filters wesentlich breiter als die ideale Antwort sein.

Der zweite Artikel zeigte, dass die Hauptkeulenbreite eines rechteckigen Fensters die Breite des Filterübergangsbandes bestimmt, während die PSL des Fensters die Wellen im Durchlassband des Filters beeinflusst. Es wurde gezeigt, dass sich der erzielte Filter der idealen Antwort annähert, wenn wir die Hauptkeulenbreite und die PSL reduzieren.

Eine Möglichkeit, die Breite der Hauptkeule zu reduzieren, besteht darin, die Anzahl der Abtastungen, $$ M $$, zu erhöhen. Die PSL eines rechteckigen Fensters ist jedoch nahezu unabhängig von $$ M $$. Gibt es einen anderen Weg, die Hauptkeulenbreite zu reduzieren und gleichzeitig ein kleineres PSL-Ziel zu erreichen = "_ blank"> vorheriger Artikel, hier gezeigt:

Abbildung (1) $$ \ frac {W (\ omega)} {M} $$ für $$ M = 21 $$.

Wenn wir dieses Spektrum quadrieren, wird die Spitze der Nebenkeule, die kleiner als 1 ist, im Vergleich zur Hauptkeule abnehmen. Daher wird ein unbekanntes Fenster, $$ w_ {x} (n) $$, dessen Fourier-Transformation gleich dem Quadrat des rechteckigen Fensters ist, eine kleinere PSL haben. Die Multiplikation im Frequenzbereich entspricht der Faltung im Zeitbereich. Als Ergebnis muss $$ w_ {x} (n) $$ die Faltung von zwei rechteckigen Fenstern derselben Länge sein, was ein dreieckiges Fenster ist.

Um diese Idee zu untersuchen, werden wir im folgenden Abschnitt die Fourier-Transformation eines dreieckigen (Bartlett) -Fensters berechnen und ihre Verbindung mit der Fourier-Transformation eines rechteckigen Fensters hervorheben, um mehr Einsicht in die Kompromisse zu erhalten.

Das Bartlett-Fenster

Das Bartlett-Fenster der Länge 21, $$ w_ {Bartlett, 21} (n) $$, ist in Figur (2) gezeigt. Im Gegensatz zum rechteckigen Fenster hat der Bartlett einen glatteren Übergang von Null zu Eins und umgekehrt.

Abbildung (2) Das Bartlett-Fenster für $$ M = 21 $$.

Um die Fourier-Transformation des Bartlett-Fensters zu berechnen, können wir Abbildung (2) als die Faltung von zwei rechteckigen Fenstern der Länge 11, $$ w_ {Rectangular, 11} (n) $$ betrachten.

Natürlich müssen wir eine Größenskalierung für diese zwei rechteckigen Fenster betrachten, um das Bartlett-Fenster von Fig. (2) nach dem Falten der rechteckigen Fenster zu haben. In diesem Beispiel ist der Skalierungsfaktor $$ \ frac {1} {\ sqrt {11}} = 0.3015 $$. Dieses rechteckige Fenster ist in Abbildung (3) dargestellt.

Figur (3) Das rechteckige Fenster mit der geeigneten Länge und Höhe, um die Fourier-Transformation eines Bartlett-Fensters mit $$ M = 21 $$ zu berechnen.

Daher erhalten wir

$$ w_ {Bartlett, 21} (n) = (\ frac {1} {\ sqrt {11}} w_ {Rechteckig, 11} (n)) * (\ frac {1} {\ sqrt {11}} w_ {Rechteckig, 11} (n)) $$

Gleichung (1)

Wir wissen, dass die Faltung im Zeitbereich der Multiplikation im Frequenzbereich entspricht

$$ W_ {Bartlett, 21} (\ omega) = \ frac {1} {11} (W_ {Rechteckig, 11} (\ omega)) ^ {2} $$

Gleichung (2)

Mit einem ungeraden $$ M $$ kann das gezeigt werden

$$ W_ {Bartlett, M} (\ omega) = \ frac {2} {M + 1} (W_ {Rechteckig, \ frac {M + 1} {2}} (\ omega)) ^ {2} $$

Gleichung (3)

In der Tat

Wobei $ W_ {Rechteckig, M} (\ omega) $$ durch Gleichung (5) des vorherigen Artikels gegeben ist als:

$$ W_ {Rechteckig, M} (\ omega) = \ links \ {\ begin {matrix} \ frac {sin (\ frac {\ omega M} {2})} {sin (\ frac {\ omega} {2 })} & \ omega \ neq 0 \\ M & \ omega = 0 \ end {Matrix} \ right \} $$

Gleichung (4)

Gleichung (3) zeigt die wichtigsten Eigenschaften des Bartlett-Fensters:

  1. Hauptkeulenbreite eines Bartlett-Fensters : Die Wurzeln eines Bartlett-Fensters der Länge $$ M $$ sind die gleichen wie die Wurzeln eines rechteckigen Fensters der Länge $$ \ frac {M + 1} {2} $$, die sich bei $$ \ frac {4k \ pi} {M + 1} $$ wobei $$ k $$ eine ganze Zahl ist. Daher ist die Hauptkeulenbreite eines Bartlett-Fensters fast doppelt so groß wie die Hauptkeulenbreite eines rechteckigen Fensters. Mit anderen Worten, da die Komprimierung in der Zeitdomäne einer Expansion in der Frequenzdomäne entspricht und irgendein Bartlett mit einem rechteckigen Fenster der halben Länge zusammenhängt, erwarten wir, dass die Hauptkeulenbreite eines Bartlett-Fensters der Länge $$ M $$ wird sei doppelt so groß wie die Hauptkeulenbreite eines rechteckigen Fensters gleicher Länge.
  2. Die PSL eines Bartlett-Fensters : Um die PSL eines Bartlett mit der eines rechteckigen Fensters zu vergleichen, betrachten Sie die normalisierte Fourier-Transformation des rechteckigen Fensters, wie in Abbildung (1) gezeigt. In dieser Figur beträgt die Größe der ersten Nebenkeule etwa 0, 22, was unter Berücksichtigung der normalisierten Größe eine PSL von $$ 20log (0, 22) ~ etwa -13 dB $ ergibt. Da die Fourier-Transformation des Bartlett gleich dem Quadrat der Fourier-Transformation des rechteckigen Fensters ist, beträgt die PSL eines Bartlett-Fensters $$ 20log (0, 22 ^ {2}) ~ ca. -26 dB $$. In Dezibel ausgedrückt, ist die PSL eines Bartlett-Fensters im Vergleich zu einem rechteckigen Fenster um den Faktor 2 reduziert.

Abbildung (4) zeigt die Fourier-Transformation eines Bartlett-Fensters mit $ M = 21 $$, die durch MATLAB aufgetragen ist.

Abbildung (4) Die Größe der Fourier-Transformation eines Bartlett-Fensters mit $ M = 21 $$.

Die obige Diskussion zeigt einen Kompromiss zwischen der Hauptkeulenbreite und PSL. Daher können wir ein Bartlett-Fenster mit einer geeigneten Länge, $$ M $$, verwenden, um gleichzeitig die PSL- und Hauptkeulenbreite zu reduzieren.

An dieser Stelle mag sich der Leser fragen, ob es ein Fenster gibt, das eine bessere Leistung als die eines Bartlett in Bezug auf die Hauptkeulenbreite und PSL bieten kann. Gibt es ein optimales oder ein nahezu optimales Fenster für ein festes $$ M $$?

Zusammenfassung

  • Um die PSL zu reduzieren, können wir verschiedene Fenstertypen wie Rechteck, Bartlett usw. ausprobieren.
  • Fenstertyp und Fensterlänge sind die beiden Parameter, die die Hauptkeulenbreite bestimmen.
  • Normalerweise suchen wir nach einem Fenstertyp, der die akzeptable PSL hat, und wählen dann $$ M $$ lang genug, so dass die Hauptkeulenbreite ebenfalls auf einen akzeptablen Wert abnimmt.
  • Die Hauptkeulenbreite eines Bartlett-Fensters der Länge $$ M $$ ist das Doppelte der Hauptkeulenbreite eines rechteckigen Fensters derselben Länge.
  • In Dezibel ausgedrückt, ist die PSL eines Bartlett-Fensters im Vergleich zu einem rechteckigen Fenster um den Faktor 2 reduziert.