Basic Algebra and Graphing für elektrische Schaltungen

CS: Schaltung aus Zustandsdiagramm (Juni 2019).

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Anonim

Basic Algebra and Graphing für elektrische Schaltungen

Mathematik für Elektronik


Frage 1

Viele verschiedene Gleichungen, die bei der Analyse von elektrischen Schaltungen verwendet werden, können grafisch dargestellt werden. Nehmen wir zum Beispiel das Ohmsche Gesetz für einen 1 kΩ Widerstand:

Zeichnen Sie diese Grafik nach dem Ohmschen Gesetz. Zeichnen Sie dann einen weiteren Graphen, der die Spannungs / Strom-Beziehung eines 2 kΩ Widerstandes darstellt.

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Anmerkungen:

Bitten Sie Ihre Schüler zu erklären, wie sie die beiden Funktionen gezeichnet haben. Haben sie zuerst eine Tabelle mit Werten erstellt? "Worksheetpanel panel panel-default" itemscope>

Frage 2

Viele verschiedene Gleichungen, die bei der Analyse von elektrischen Schaltungen verwendet werden, können grafisch dargestellt werden. Nehmen wir zum Beispiel das Ohmsche Gesetz für einen variablen Widerstand, der an eine 12-Volt-Quelle angeschlossen ist:

Zeichnen Sie diese Grafik nach dem Ohmschen Gesetz.

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Anmerkungen:

Bitten Sie Ihre Schüler zu erklären, wie sie die beiden Funktionen gezeichnet haben. Haben sie zuerst eine Tabelle mit Werten erstellt? "Worksheetpanel panel panel-default" itemscope>

Frage 3

Beachten Sie die folgende Äquivalenz:

4 3 × 4 2 = (4 × 4 × 4) × (4 × 4)

Da alle Operationen gleich (Multiplikation) und reversibel sind, werden die Klammern nicht benötigt. Daher können wir den Ausdruck so schreiben:

4 × 4 × 4 × 4 × 4

Natürlich ist der einfachste Weg dies zu schreiben 4 5, da es fünf 4er sind, die miteinander multipliziert werden.

Erweitern Sie jeden dieser Ausdrücke, sodass auch keine Exponenten vorhanden sind:

3 5 × 3 2 =
10 4 × 10 3 =
8 2 × 8 3 =
20 1 × 20 2 =

Nach dem Erweitern jedes dieser Ausdrücke, überschreiben Sie jede in der einfachsten Form: eine Zahl in eine Potenz, genau wie die endgültige Form des Beispiels gegeben (4 5 ). Welches Muster sehen Sie anhand dieser Beispiele bei Exponenten von Produkten? Mit anderen Worten, was ist die allgemeine Lösung für den folgenden Ausdruck?

a m × a n =

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a m × a n = a m + n

Anmerkungen:

Ich habe festgestellt, dass Schüler, die die allgemeine Regel nicht verstehen können (a m × a n = a m + n ) oft zum ersten Mal verstehen, wenn sie konkrete Beispiele sehen.

Frage 4

Beachten Sie die folgende Äquivalenz:

4 3


4 2

= 4 × 4 × 4


4 × 4

Es sollte leicht ersichtlich sein, dass wir zwei Mengen von sowohl oben als auch unten der Fraktion löschen können, so dass wir am Ende übrig bleiben:

4


1

Wenn wir dies mit Exponenten neu schreiben, erhalten wir 4 1 .

Erweitern Sie jeden dieser Ausdrücke, sodass auch keine Exponenten vorhanden sind:

((3 5 ) / (3 2 )) =
((10 6 ) / (10 4 )) =
((8 7 ) / (8 3 )) =
((20 5 ) / (20 4 )) =

Nachdem Sie jeden dieser Ausdrücke erweitert haben, schreiben Sie jeden in der einfachsten Form neu: eine Zahl in eine Potenz, genau wie die endgültige Form des gegebenen Beispiels (4 1 ). Welches Muster sehen Sie anhand dieser Beispiele bei Exponenten von Produkten? Mit anderen Worten, was ist die allgemeine Lösung für den folgenden Ausdruck?

ein m


a n

=

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ein m


a n

= ein m-n

Anmerkungen:

Ich habe festgestellt, dass Schüler, die die allgemeine Regel ((a m ) / (a n )) nicht verstehen können (a m-n ) oft zum ersten Mal verstehen, wenn sie konkrete Beispiele sehen.

Frage 5

Beachten Sie die folgende Äquivalenz:

4 2


4 3

= 4 × 4


4 × 4 × 4

Es sollte leicht ersichtlich sein, dass wir zwei Mengen von sowohl oben als auch unten der Fraktion löschen können, so dass wir am Ende übrig bleiben:

1


4

Nach der Regel von ((a m ) / (a n )) = a m-n sollte die Reduktion von ((4 2 ) / (4 3 )) 4 -1 sein . Viele Studenten finden das verwirrend, weil das intuitive Konzept der Exponenten (wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert werden soll) hier versagt. Wie in der Welt multiplizieren wir 4 mal -1 mal ?!

Erweitern Sie jeden dieser Ausdrücke, sodass auch keine Exponenten vorhanden sind:

((3 2 ) / (3 5 )) =
((10 4 ) / (10 6 )) =
((8 3 ) / (8 7 )) =
((20 4 ) / (20 5 )) =

Nach dem Expandieren jedes dieser Ausdrücke, überschreiben Sie jede in der einfachsten Form: eine Zahl in eine Potenz, genau wie die endgültige Form des gegebenen Beispiels (4 -1 ), nach der Regel ((a m ) / (a n ) ) = a m-n . Welche leicht verständliche Definition können Sie aus diesen Beispielen ziehen, um negative Exponenten zu beschreiben?

Erweitern Sie außerdem den folgenden Ausdruck, so dass keine Exponenten vorhanden sind, und schreiben Sie das Ergebnis dann in Exponentenform nach der Regel ((a m ) / (a n )) = a m-n :

5 3


5 3

Was sagt dir das über Exponenten von Null?

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Ein negativer Exponent ist einfach das reziproke (1 / x) seines positiven Gegenstücks. Ein Exponent von Null ist immer gleich 1.

Anmerkungen:

Ich habe herausgefunden, dass Schüler, die die Bedeutung von Negativ- oder Null-Exponenten nicht ergründen können, oft sofort verstehen, wenn sie ihre eigene Definition basierend auf der allgemeinen Regel (((a m ) / (an)) = a m-n ) konstruieren.

Frage 6

Wenn Sie einen mathematischen Ausdruck berechnen (berechnen), in welcher Reihenfolge sollten Sie die verschiedenen Ausdrücke ausführen? Mit anderen Worten, was zuerst kommt: Multiplikation, Division, Addition, Subtraktion, Potenzen, Wurzeln, Klammern usw .; und was kommt danach und danach?

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Machen Sie zuerst das, was in Klammern steht (die äußersten runden Klammern, wenn es mehrere Klammern gibt), Potenzen und Wurzeln, Funktionen (trig, log, usw.), Multiplikation / Division und schließlich Addition / Subtraktion.

Anmerkungen:

Reihenfolge der Operationen ist extrem wichtig, da es kritisch wird, die richtige Reihenfolge der Auswertung zu erkennen, wenn ein Ausdruck "abgestreift" wird, um eine bestimmte Variable zu isolieren. Im Wesentlichen wird die normale Reihenfolge der Operationen umgekehrt, wenn ein Ausdruck "rückgängig gemacht" wird, so dass die Schüler erkennen müssen, was die richtige Reihenfolge der Operationen ist.

Frage 7

Befolgen Sie die richtige Reihenfolge der Vorgänge, um diese Ausdrücke zu bewerten:

13 + 2


3

+ 8 = 25 + (3 + 2) 2 × 2 =

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13 + 2


3

+ 8 = 13 25 + (3 + 2) 2 × 2 = 75

Anmerkungen:

Nichts Besonderes hier - nur einfache arithmetische Probleme, die nicht richtig gelöst werden können, wenn die richtige Reihenfolge der Operationen nicht befolgt wird.

Frage 8

Befolgen Sie die richtige Reihenfolge der Vorgänge, um diese Ausdrücke zu bewerten:

15 - 3


3

+ 7 = 20 + (1 + 3) 2 × 3 =

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15 - 3


3

+ 7 = 11 20 + (1 + 3) 2 × 3 = 68

Anmerkungen:

Nichts Besonderes hier - nur einfache arithmetische Probleme, die nicht richtig gelöst werden können, wenn die richtige Reihenfolge der Operationen nicht befolgt wird.

Frage 9

Bei der Bewertung eines Ausdrucks wie diesem ist es sehr wichtig, die richtige Reihenfolge der Operationen zu befolgen. Andernfalls kann das korrekte Ergebnis nicht erreicht werden:

3 log2 5 + 14

Um zu zeigen, was die richtige Reihenfolge der Operationen für diesen Ausdruck ist, zeige ich hier, dass es Schritt für Schritt evaluiert wird

3 log2 5 + 14

3 log32 + 14

3 × 1.5051 + 14

4.5154 + 14

18.5154

Machen Sie dasselbe für jeden der folgenden Ausdrücke:

10 - 25 × 2 + 5
-8 + 10 3 × 51
12 4 × (3 + 11)
21 (7 - 4) × 40
log√ {6 + 35 2 }
√ {((220/16) - 2, 75) × 2}


Fußnoten:

Übrigens ist dies eine sehr empfehlenswerte Übung für diejenigen, die mit mathematischen Prinzipien kämpfen: Dokumentieren Sie jeden einzelnen Schritt, indem Sie den Ausdruck neu schreiben. Obwohl es mehr Papier und mehr Aufwand erfordert, wird es Sie vor unnötigen Fehlern und Frustrationen bewahren
!

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Ich lasse Sie die richtige Reihenfolge der Operationen bestimmen und dokumentieren, aber hier sind die Ergebnisse jedes Ausdrucks:

10 - 25 × 2 + 5 = -35
-8 + 10 3 × 51 = 50992
12 4 × (3 + 11) = 290304
21 (7 - 4) × 40 = 370440
log√ {6 + 35 2 } = 1, 5451
√ {((220/16) - 2, 75) × 2} = 4, 6904

Anmerkungen:

Die Reihenfolge der Operationen ist extrem wichtig, da es wichtig wird, die richtige Reihenfolge der Auswertung zu erkennen, wenn man einen Ausdruck herunterzieht, um eine bestimmte Variable zu isolieren. Im Wesentlichen kehrt sich die normale Reihenfolge der Operationen um, wenn ein Ausdruck "gewendet wird", so dass die Schüler erkennen müssen, was die richtige Reihenfolge der Operationen ist.

Frage 10

Führen Sie die folgenden Berechnungen durch:

8 12


8 10

= 5 3


5 4

= (2 4 ) (2 -1 ) =

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8 12


8 10

= 64 5 3


5 4

= 1


5

= 0, 2 (2 4 ) (2 -1 ) = 8

Anmerkungen:

Nichts Besonderes hier, einfach mit Exponenten üben.

Frage 11

Führen Sie die folgenden Berechnungen durch:

10 6


10 3

= 3 2


3 3

= (2 6 ) (2 -4 ) =

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10 6


10 3

= 1000 3 2


3 3

= 1


3

≈ 0, 333 (2 6 ) (2 -4 ) = 4

Anmerkungen:

Nichts Besonderes hier, einfach mit Exponenten üben.

Frage 12

Die Gleichung für die Berechnung des Gesamtwiderstands in einer Parallelschaltung (für eine beliebige Anzahl paralleler Widerstände) wird manchmal folgendermaßen geschrieben:

R gesamt = (R 1 -1 + R 2 -1 +

.

R n -1 ) -1

Schreiben Sie diese Gleichung so um, dass sie keine Exponenten mehr enthält.

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R gesamt = 1


1


R 1

+ 1


R 2

+

.

1


R n

Anmerkungen:

Diese Frage ist eine Übung in der grundlegenden Algebra, speziell die Bedeutung negativer Exponenten.

Frage 13

Eine Funktion ist eine mathematische Beziehung mit einer Eingabe (normalerweise x) und einer Ausgabe (normalerweise y). Hier ist ein Beispiel für eine einfache Funktion:

y = 2x + 1

Eine Möglichkeit, das Muster einer gegebenen Funktion zu zeigen, ist eine Tabelle mit Zahlen. Vervollständige diese Tabelle für die gegebenen Werte von x:


x2x + 1


0


1


2


3


4


5


Eine üblichere (und intuitivere) Möglichkeit, das Muster einer gegebenen Funktion zu zeigen, ist ein Graph . Vervollständige dieses Diagramm für die gleiche Funktion y = 2x + 1. Betrachte jede Division auf den Achsen als 1 Einheit:

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x2x + 1


01


13


25


37


49


511


Anmerkungen:

Es ist sehr wichtig für Ihre Schüler, Graphen zu verstehen, da sie sehr häufig verwendet werden, um das Verhalten von Schaltkreisen und mathematischen Funktionen gleichermaßen zu veranschaulichen. Besprechen Sie mit ihnen, wie die Linie eine kontinuierliche Folge von Punkten darstellt und nicht nur die in der Tabelle berechneten ganzzahligen Werte.

Frage 14

Eine berühmte illustrative Geschichte zum Verständnis von Exponenten sieht ungefähr so ​​aus:

Ein Armer rettet das Leben eines Königs. Im Gegenzug bietet der König dem Armen, was er will, als Belohnung. Der Bettler, der ein kluger Mann ist, sagt dem König, dass er nicht viel will, nur ein Reiskorn heute, dann verdopple das (zwei Reiskörner) am nächsten Tag, verdopple dann das (vier Reiskörner) am nächsten Tag, und so weiter. Der König fragt, wie lange er dem armen Reis geben soll, und der arme antwortet, indem er eines Tages für jedes Quadrat auf einem Schachbrett sagt (64 Tage). Das hört sich für den König nicht besonders an, der nie einen Mathe-Kurs belegt hat, und so stimmt er zu.

In kurzer Zeit gerät der König jedoch in den Ruin, weil die Reismenge so enorm groß ist. Das ist die Natur der exponentiellen Funktionen: Sie wachsen unglaublich groß mit bescheidenen Gewinnen in x.

Zeichnen Sie die Reisfunktion des Armen auf (y = 2 x ), wobei jede Division auf der horizontalen Achse 1 Einheit darstellt und jede Division auf der vertikalen Achse 100 Einheiten darstellt.

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Follow-up-Frage: Wie denken Sie, wird dieses Diagramm für negative Werte von x "Notizen versteckt" aussehen> Anmerkungen:

Aus dem gezeigten Diagramm kann hervorgehen, dass die Funktion sich 0 nähert, wenn sich x Null nähert. Dies ist nicht der Fall, wie eine einfache Rechnung (y = 2 0 ) zeigt. Damit die Schüler in der Nähe des Ursprungs sehen können, müssen sie den Graphen neu skalieren.

Frage 15

Passe jede geschriebene Funktion an (y =

.

) Mit der skizzierten Grafik passt es am besten:

y = 3x + 2 y = 5 - 2x

y = x 2 y = 2 x

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Anmerkungen:

Der Hauptzweck dieser Frage besteht darin, dass die Schüler herausfinden, wie sie jeden Ausdruck einem Graphen zuordnen. Natürlich könnte man sich die Zeit nehmen, jede Funktion einzeln zu zeichnen, aber es gibt viel einfachere Möglichkeiten, den "Charakter" einer Funktion zu bestimmen, ohne das Ganze zu zeichnen.

Frage 16

Passe jede geschriebene Funktion an (y =

.

) Mit der skizzierten Grafik passt es am besten:

y = 5x - 2 y = 1 - 3x

y = x 3 y = 3 x

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Anmerkungen:

Der Hauptzweck dieser Frage besteht darin, dass die Schüler herausfinden, wie sie jeden Ausdruck einem Graphen zuordnen. Natürlich könnte man sich die Zeit nehmen, jede Funktion einzeln zu zeichnen, aber es gibt viel einfachere Möglichkeiten, den "Charakter" einer Funktion zu bestimmen, ohne das Ganze zu zeichnen.

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