Konzepte und Variablen mit Zustandsraum und kanonischen Modellen

Machine Learning #3 - Grundlagen #2 - Konzept vs Klassifikation vs Regression (Juli 2019).

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Anonim

Konzepte und Variablen mit Zustandsraum und kanonischen Modellen


Die Konzepte und Variablen im Zusammenhang mit Repräsentationen von Zustandsräumen, Kanoniken und Systemtransferfunktionen der gemeinsamen Konverter

Empfohlene Stufe

Anfänger

State-Space-Mittelwertbildung

Bei der Technik der direkten Linearisierung der Schaltung kann das dynamische Verhalten der Schaltung bei der Resonanzfrequenz nicht untersucht werden, da sich die Schaltfrequenzkomponente des Ausgangs für den Resonanzkonverter von der lokalen Durchschnittswertfrequenz unterscheidet. Daher muss der Integralausdruck des Durchschnittswerts unter Verwendung der Fourier-Reihe erweitert werden; und der Ableitungsausdruck in Bezug auf eine bestimmte Frequenz ist für die dynamische Analyse erforderlich.

Außerdem kann die Zustandsraummodelltechnik auf kontinuierliche, diskrete und beispielhafte Datensysteme angewendet werden.

State-Space-Modelle bieten eine grundlegende und leistungsfähige Methode zur dynamischen Modellierung zahlreicher Systeme, z. B. des Stromrichters. Sie können die stationären und dynamischen Leistungen des Leistungsprozessors, der ein offenes System oder ein geschlossenes System hat, durch externe Störungen erhalten. Es bildet auch die Grundlage für die Anwendungen der nichtlinearen Steuerungsmethodik wie die Sliding-Mode-Steuerung.

Die Zustandsraum-Mittelungstechnik ergibt ein vollständiges Wandlermodell mit stationären und dynamischen Größen.

Darüber hinaus kann die Zustandsraummodellierung einfacher sein als die Mittelung durch die direkte Bildung der zuvor untersuchten Schaltung, da die Zustandsraummodelle die Möglichkeit bieten, die erforderlichen Berechnungen zu organisieren. Daher besteht ein wachsender Bedarf an Zustandsmodellierung in der Leistungselektronik. Tools der klassischen LTI-Systemsteuerung wie Bode-Plot, Root-Locus usw. sind am besten mit Zustandsraum-Durchschnittsmodellen geeignet.

Zustandsraummodellierung

Die Hauptvariablen in einem Zustandsraummodell werden Zustandsvariablen genannt, die den Zustand des Systems definieren. Diese Variablen reduzieren jene Aspekte der Vergangenheit, die mit der Zukunft zusammenhängen. Daher sind sie eng mit dem Speicher- oder Energiespeichermechanismus verwandt. Andere interessierende Variablen sind der Signaleingang wie die Quellenspannung und der Quellenstrom; und die Steuereingabe wie das Tastverhältnis. Diese Variablen sind auch im Zustandsraummodell enthalten.

Wenn der Wandler im stationären Zustand ohne äußere Störungen arbeitet und wenn die Schalter ideal sind, dh kein Spannungsabfall während des Einschaltens und kein Strom im ausgeschalteten Zustand, dann kann das Verhalten des Wandlers durch die Form des Zustandsraums dargestellt werden Modell wie,

$$ \ dot {x} = Ax + Bu $$

und

$$ y = Cx + Du $$

Hier ist x ein Zustandsvektor und u ist der Kontroll- oder Eingabevektor,

$$ \ dot {x} = \ frac {dx} {dt}, $$

A, B, C, D sind die Matrix für den Zustand (oder die Dynamik), die Eingabematrix, die Ausgabematrix und die Vorwärtskopplungsmatrix (oder Direktübertragungsmatrix).

Die allgemeine Lösung für diese Zustandsraummodellgleichungen ist

$$ x (t) = e ^ {A (t-δT)} x (δT) + \ int_ {δT} ^ {α} e ^ {A (t- α)} B \; u (α) dα $ $

Wenn die Grenzen des Zeitintervalls zwischen 0 und T liegen, wird die Lösung für die Zustandsraummodellgleichung

$$ x (t) = e ^ {A (t)} x (0) + \ int_ {0} ^ {T} e ^ {A (t- α)} B \; u (α) dα $$

Wenn der Schalter in dem Wandler entweder in der Einschalt- oder Abschaltbedingung ist, die durch die zeitvariante Schaltvariable & dgr; (t) dargestellt wird, kann die Zustandsraumgleichung wie folgt dargestellt werden:

Für das Einschalt-Intervall, dh 0 ≤ t ≤ δ 1 t,

$$ \ dot {x} = A_ {01} x + B_ {01} u $$ (Gleichung 1)

$$ y = C_ {01} x + D_ {01} u $$ (Gleichung 2)

Hier ist die zeitvariante Schaltgröße & dgr; (t) = 1 für das Einschaltintervall und für das Abschaltintervall, dh & dgr; 1 t ≤ t ≤ T,

$$ \ dot {x} = A_ {02} x + B_ {02} u $$ (Gleichung 3)

$$ y = C_ {02} x + D_ {02} u $$ (Gleichung 4)

Hier ist die zeitvariable Schaltvariable & dgr; (t) = 0 für das Abschaltintervall.

Diese Gleichungen können kombiniert werden, um das nichtlineare und zeitvariante Zustandsraummodell wie unten angegeben zu erhalten.

$ \ dot {x} = (A_ {01} δ (t) + A_ {02} (1-δ (t))) x + (B_ {01} δ (t) + B_ {02} (1-δ (t))) u $$ (Gleichung 5)

$$ y = (C_ {01} δ (t) + C_ {02} (1 - δ (t))) x + (D_ {01} δ (t) + D_ {02} (1-δ (t)) ) u $$ (Gleichung 6)

Die Lösung dieser Gleichungen für das Zeitintervall 0 bis T ist

$$ x (T) = e ^ {(A_ {01} δ (t) + A_ {02} (1 - δ (t))) T} x (0) + \ int_ {0} ^ {T} e ^ {(A_ {01} δ (t) + A_ {02} (1-δ (t))) (t-α)} (B_ {01} δ (t) + B_ {02} (1-δ ( t))) u (α) dα $$

Wenn δ 1 der Durchschnittswert ist und der Durchschnittswert von x ist $$ overline {x} $$, dann

$$ \ Punkt {\ Überstrich {x}} = (A_ {01} δ_ {1} + A_ {02} δ_ {2}) \ Überstrich {x} + (B_ {01} δ_ {1} + B_ {02 } δ_ {2}) \ overline {u} $$ (Gleichung 7)

$$ \ overline {y} = (C_ {01} δ_ {1} + C_ {02} δ_ {2}) \ Überstrich {x} + (D_ {01} δ_ {1} + D_ {02} δ_ {2 }) \ overline {u} $$ (Gleichung 8)

Wo, δ 2 = 1 - δ 1

Methode:

Ersetzen Sie den Induktor durch eine äquivalente Stromquelle und den Kondensator durch eine äquivalente Spannungsquelle, wie in Abb. 1 gezeigt. Es müssen einige Ausgangsbedingungen für uns bekannt sein, die Ausgabe der dynamischen Analyse. Beachten Sie, dass Zustandsvariablen diejenigen Variablen sind, deren Werte erforderlich sind, um die zukünftige Systemleistung oder das Systemverhalten zu kennen. Somit sind der Induktorstrom und die Kondensatorspannung die üblichen Wahlmöglichkeiten für die Zustandsvariable.

Bestimmen Sie die Induktivitäts- und Kondensatorströme als Funktion der Quellenspannung oder des Quellenstroms, des Induktorstroms, der Kondensatorspannung und der Steuereingänge.

Lösen Sie auch die Ausgangsvariablen mit Schritt 2.

Sie können die Schaltfunktion für Schritt 2 wie unten beschrieben betrachten.

$$ v_ {L} = \ akut {f_ {1}} (v_ {s}, i_ {s}, i_ {L}, v_ {c}, q, t) $$

$$ i_ {C} = \ akut {f_ {2}} (v_ {s}, i_ {s}, i_ {L}, v_ {c}, q, t) $$

$$ y_ {1} = n_ {1} (v_ {s}, i_ {s}, i_ {L}, v_ {c}, q, t) $$

$$ y_ {2} = n_ {2} (v_ {s}, i_ {s}, i_ {L}, v_ {c}, q, t) $$

Setzen Sie die Induktivitätsspannung und den Kondensatorstrom in die Gleichungen in Schritt 2 und ordnen Sie sie neu an, um die Ausdrücke für die Ableitung der Zustandsvariablen zu erhalten. Schließlich finden Sie die Matrizen A, B, C und D.

Abbildung 1. Allgemeine Darstellung der Wandlerschaltung

Hier besteht die nicht-dynamische Schaltung aus Komponenten wie einem Widerstand, einem Schalter und einem idealen Transformator, die nur Momentanwerte der Spannungen und Ströme aufweisen, dh sie haben keine Integral- oder Differential- oder Zeitverschiebungskomponenten.

Lineare Zustandsraum-Durchschnittsmodellierung

Berücksichtigen Sie, dass es im System eine kleine Störung gibt. Stellen Sie nun diese kleine Störung durch ein "̌" -Symbol über dem Buchstaben und dem Steady-State durch einen Großbuchstaben dar, wie zuvor getan.

So haben wir,

$$ \ overline {x} = X + \ check {x} $$

$$ \ Überstrich {y} = Y + \ Scheck {y} $$

$$ \ overline {u} = U + \ check {u} $$

$$ δ_ {1} = Δ_ {1} + \ check {δ} $$

$$ δ_ {2} = Δ_ {2} - \ check {δ} $$

Wie im stationären Zustand,

$$ \ dot {X} = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ Überstrich {\ dot {x}} = \ dot {X} + \ check {x} $$

$$ \ Rightarrow \ overline {\ dot {x}} = \ check {x} $$

Mit den Gleichungen 7 und 8 erhalten wir

$$ \ Rightarrow \ Überstrich {\ dot {x}} = \ check {x} = (A_ {01} Δ_ {1} + A_ {02} Δ_ {2}) X \, + \, (B_ { 01} Δ_ {1} + B_ {02} Δ_ {2}) U \, + \, (A_ {01} Δ_ {1} + A_ {02} Δ_ {2}) \ check {x} \, + \, (B_ {01} Δ_ {1} + B_ {02} Δ_ {2}) \ prüfen {u} + ((A_ {01} -A_ {02}) X + (B_ {01} -B_ {02}) U) \ prüfen {δ} \, + \, ((A_ {01} -A_ {02}) \ prüfen {x} + (B_ {01} -B_ {02}) \ check { u}) \ check {δ} $$

und

$$ \ overline {y} = Y + \ prüfen {y} = (C_ {01} Δ_ {1} + C_ {02} Δ_ {2}) X \, + \, (D_ {01} Δ_ { 1} + D_ {02} Δ_ {2}) U \, + \, (C_ {01} Δ_ {1} + C_ {02} Δ_ {2}) \ check {x} \, + \, (D_ {01} Δ_ {1} + D_ {02} Δ_ {2}) \ check {u} \, + \, ((C_ {01} -C_ {02}) X + (D_ {01} - D_ {02}) U) \ prüfen {δ} \, + \, ((C_ {01} -C_ {02}) \ check {x} \, + \, (D_ {01} -D_ {02}) \ check {u}) \ check {δ} $$

Diese Gleichungen können in zwei Teile unterteilt werden, einer steht in Zusammenhang mit DC- oder stationärem Verhalten und der andere bezieht sich auf das lineare Kleinsignal-Zustandsraum-Durchschnittsmodell, wie unten angegeben:

Steady-State-Modell:

$$ (A_ {01} Δ_ {1} + A_ {02} Δ_ {2}) X \, + \, (B_ {01} Δ_ {1} + B_ {02} Δ_ {2}) U = 0 $$ (Gleichung 9)

und

$$ Y = (C_ {01} Δ_ {1} + C_ {02} Δ_ {2}) X + (D_ {01} Δ_ {1} + D_ {02} Δ_ {2}) U $$ (Gleichung 10)

Die Steady-State-Darstellung des Durchschnittssystems ist zwar linear, aber nicht zeitinvariant, da diese von Δ abhängen. Das lineare System hilft uns dabei, die verschiedenen Übertragungsfunktionen zu definieren, mit denen der Systemregler weiter ausgelegt werden kann.

Lineares Kleinsignal-Zustandsraummodell

$$ \ overline {\ Punkt {x}} = \ check {x} = (A_ {01} Δ_ {1} + A_ {02} Δ_ {2}) \ check {x} \, + \, ( B_ {01} Δ_ {1} + B_ {02} Δ_ {2}) \ check {u} \, + \, ((A_ {01} -A_ {02}) X + (B_ {01} -B_ {02}) U) \ prüfen {δ} \, + \, ((A_ {01} -A_ {02}) \ prüfen {x} + (B_ {01} -B_ {02}) \ check {u} ) \ check {δ} $$

Wenn wir den Begriff höherer Ordnung vernachlässigen

$$ ((A_ {01} -A_ {02}) \ prüfen {x} + (B_ {01} -B_ {02}) \ check {u}) \ check {δ} = 0, $$

dann,

$$ \ overline {\ Punkt {x}} = \ check {x} = (A_ {01} Δ_ {1} + A_ {02} Δ_ {2}) \ check {x} \, + \, ( B_ {01} Δ_ {1} + B_ {02} Δ_ {2}) \ check {u} \, + \, ((A_ {01} -A_ {02}) X + (B_ {01} -B_ {02}) U) \ check {δ} $$

und

$ \ check {y} = (C_ {01} Δ_ {1} + C_ {02} Δ_ {2}) \ check {x} \, + \, (D_ {01} Δ_ {1} + D_ {02} Δ_ {2}) \ check {u} \, + \, ((C_ {01} -C_ {02}) X + (D_ {01} -D_ {02}) U) \ check {δ } \, + \, ((C_ {01} -C_ {02}) \ prüfen {x} + (D_ {01} -D_ {02}) \ check {u}) \ check {δ} $$

Vernachlässigen wir den Begriff höherer Ordnung, bekommen wir

$ \ check {y} = (C_ {01} Δ_ {1} + C_ {02} Δ_ {2}) \ check {x} \, + \, (D_ {01} Δ_ {1} + D_ {02} Δ_ {2}) \ check {u} \, + \, ((C_ {01} -C_ {02}) X + (D_ {01} -D_ {02}) U) \ check {δ } \, + \, ((C_ {01} -C_ {02}) \ check {x} $$

Dies kann auch wie folgt geschrieben werden.
$$ \ dot {\ check {x}} = A_ {Durchschnitt} \ check {x} \, + \, B_ {Avg} \ check {u} \, + \, ((A_ {01} -A_ {02 }) X + (B_ {01} -B_ {02}) U) \ check {δ} $$ (Gleichung 11)

und

$$ \ check {y} = C_ {Durchschnitt} \ check {x} \, + \, D_ {Durchschnitt} \ check {u} \, + \, ((C_ {01} -C_ {02}) X \, + \, (D_ {01} -D_ {02}) U) \ check {δ} $$ (Gleichung 12)

Woher:

$$ A_ {Durchschnitt} = A_ {01} Δ_ {1} + A_ {02} Δ_ {2} $$

$$ B_ {Durchschnitt} = B_ {01} Δ_ {1} + B_ {02} Δ_ {2} $$

$$ C_ {Avg} = C_ {01} Δ_ {1} + C_ {02} Δ_ {2} $$

$$ D_ {Avg} = D_ {01} Δ_ {1} + D_ {02} Δ_ {2} $$ (Gleichung 13)

Übertragungsfunktion für den Konverter

Die Übertragungsfunktion für den Konverter kann leicht mit Hilfe der Laplace-Transformation erhalten werden. Diese sind hilfreich für die dynamische Analyse des Konverters. Das Einschwingverhalten aufgrund von Eingangsstörungen kann mit Hilfe der Eingangsempfindlichkeitsfunktion ermittelt werden.

Unter Steady-State-Bedingungen, Gleichungen 9 und 10, erhalten wir

$ \ frac {Y} {U} = - C_ {Durchschnitt} A ^ {- 1} _ {Durchschnitt} B_ {Durchschnitt} + D_ {Durchschnitt} $$ (Gleichung 14)

Nehmen wir die Null-Anfangsbedingung $$ (\ check {u} = 0) $$ an, indem wir die Laplace-Transformation für die Gleichungen 11 und 12 verwenden, erhalten wir:

Steuerungsübertragungsfunktion

$$ \ frac {\ Scheck {y} (s)} {\ Scheck {δ} (s)} = {C_ {Durchschnitt} (sI-A_ {Avg})} ^ {- 1} ((A_ {01} -A_ {02}) X + (B_ {01} -B_ {02}) U) + ((C_ {01} -C_ {02}) X + (D_ {01} -D_ {02}) U) $$ ( Gleichung 15)

In Anbetracht dessen, dass es eine kleine Signalstörung gibt, so dass angenommen werden kann, dass $$ \ check {δ} = 0, $$

Dann ist die Übertragungsfunktion (oder Audioempfindlichkeit) gegeben durch

$$ \ frac {\ check {y} (s)} {\ check {δ} (s)} = {C_ {Durchschnitt} (sI-A_ {Avg})} ^ {- 1} B_ {Avg} + D_ {Avg} $$ (Gleichung 16)

Betrachten Sie nun das Beispiel des Buck-Boost-Converters und des Forward Converters für die Zustandsraum-Durchschnittsmodellierung.

State-Space-Mittelwertbildung für den Buck-Boost-Converter

Abbildung 2. Schaltung für den nicht isolierten Buck-Boost-Konverter

Zustandsvektor,

$$ x = (I_ {L} \; V_ {C}) $$

Die Gleichungen, wenn der Schalter S eingeschaltet ist:

$$ V_ {s} = L \ frac {di_ {L}} {dt} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {di_ {L}} {dt} = \ frac {V_ {S}} {L} $$

ebenfalls,

$$ C \ frac {dv_ {o}} {dt} = - \ frac {v_ {o}} {R} $$

und

$$ v_ {o} = - v_ {c} $$

Die Gleichungen, wenn der Schalter S in der AUS-Bedingung ist:

$ \ frac {di_ {L}} {dt} = - \ frac {v_ {o}} {L} $$

$ \ frac {dv_ {c}} {dt} = \ frac {i_ {L}} {C} - \ frac {v_ {o}} {RC} $$

und

$$ v_ {o} = - v_ {C} $$

Erwägen

$$ y = (v_ {o} \; i_ {L}) $$

Vergleicht man sie mit den allgemeinen Zustandsraumgleichungen von (1) bis (4), erhalten wir

$$ A_ {01} = (0 \; 0 \; 0 \; - \ frac {1} {RC}) $$

$$ A_ {02} = (0 \; - \ Frac {1} {L} \; \ Frac {1} {C} \; - \ Frac {1} {RC}) $$

$$ B_ {01} = (\ frac {1} {L} \; 0) $$

$$ B_ {02} = (0 \; 0) $$

$$ C_ {01} = (0 \; 1 \; 1 \; 0) $$

$$ C_ {02} = (0 \; 1 \; 1 \; 0) $$

$$ D_ {01} = (0 \; 0) $$

$$ D_ {02} = (0 \; 0) $$

Mit den Gleichungen 5 und 6 können wir das geschaltete Zustandsmodell wie unten angegeben erhalten.
$$ (\ Punkt {i_ {L}} \; \ Punkt {v_ {o}}) = (0 \; - \ Frac {1-δ (t)} {L} \; \ Frac {1-δ ( t)} {C} - \ frac {1} {RC}) (i_ {L} \; v_ {o}) + (\ frac {δ (t)} {L} \; 0) v_ {s} $ $

und

$$ (v_ {o} \; i_ {L}) = (0 \; 1 \; 1 \; 0) (i_ {L} \; v_ {o}) + (0 \; 0) v_ {s} $$

Wenn wir nun die Gleichungen 7 und 8 anwenden, können wir die folgenden Gleichungen für den durchschnittlichen Zustandsraum erhalten:

$$ (\ Überstrich {\ Punkt {i_ {L}}} \; \ Überstrich {\ Punkt {v_ {o}}}) = ((0 \; 0 \; 0 \; - \ frac {1} {RC }) δ_ {1} + (0- \ frac {1} {L} \ frac {1} {C} - \ frac {1} {RC}) δ_ {2} (\ Überstrich {i_ {L}} \ ; \ Überstrich {v_ {o}}) + ((\ frac {1} {L} \; 0) δ_ {1} + (0 \; 0) δ_ {2}) \ Überstrich {v_ {s}} $ $

und

$$ (\ Überstrich {v_ {o}} \; \ Überstrich {i_ {L}}) = ((0 \; 1 \; 1 \; 0) δ_ {1} + (0 \; 1 \; 1 \ ; 0) δ_ {2}) \, (\ Überstrich {i_ {L}} \; \ Überstrich {v_ {o}}) + ((\ frac {1} {L} \; 0) δ_ {1} + (0 \; 0) δ_ {2}) \ overline {v_ {s}} $$

Wie wir wissen, ist δ 2 = 1 - δ 1

Wir bekommen,

$$ (\ dot {\ Überstrich {i_ {L}}} \; \ dot {\ Überstrich {v_ {o}}}) = (0 \; - \ frac {1-δ_ {1} (t)} { L} \; \ frac {1-δ_ {1} (t)} {C} \; - \ frac {1} {RC}) \; (\ Überstrich {i_ {L}} \; \ Überstrich {v_ { o}}) + (\ frac {δ_ {1} (t)} {L} \; 0) \ Überstreichen {v_ {s}} $$ (Gleichung 17)

und

$$ (\ Überstrich {v_ {o}} \; \ Überstrich {i_ {L}}) = (0 \; 1 \; 1 \; 0) \; (\ Überstrich {i_ {L}} \; \ Überstrich {v_ {o}}) + (0 \; 0) \ Überstrich {v_ {s}} $$ (Gleichung 18)

Die charakteristischen Wurzeln der Matrix A sind die Wurzeln von | sI - A |. So,

$$ s_ {1, 2} = \ sqrt {- \ frac {1} {2RC} \; ± \; \ frac {{(1-δ_ {1})} ^ {2}} {LC}} $$

Der Maximalwert der Wurzel s gilt für die Schaltfrequenz f s, sT << 1, für die lineare Approximation. s max kann als eine Frequenz angesehen werden, die viel kleiner als 2 & pgr; f s ist .

Zum Beispiel kann es bei einem Zehntel der Schaltfrequenz berücksichtigt werden. Dann müssen wir die Induktivitäts- und Kondensatorwerte entsprechend wählen.

Mit den Gleichungen 11, 12 und 13 haben wir

Lineares Zustandsraummodell für diesen Konverter ist gegeben durch

$$ (\ check {i_ {L}} \; \ check {v_ {o}}) = (0 \; - \ frac {1-Δ_ {1}} {L} \ frac {1-Δ_ { 1}} {C} - \ frac {1} {RC}) (\ überprüfen {i_ {L}} \; \ check {v_ {o}}) \; + \; (\ frac {Δ_ {1} } {L} \; 0) (\ prüfen {v_ {s}}) \; + \; (0 \; \ frac {\ überprüfen {δ}} {L} - \ frac {\ check {δ}} { C} \; 0) (\ check {i_ {L}} \; \ prüfen {v_ {o}}) \; + \; (\ frac {V_ {S}} {L} \; 0) (\ check {δ}) $$

und

$$ (\ check {v_ {o}} \; \ prüfen {i_ {L}}) = (0 \; 1 \; 1 \; 0) (\ check {i_ {L}} \; \ check {v_ {o}}) + (0 \; 0) (\ check {v_ {s}}) $$

Somit haben wir folgende Matrizen:

$$ A_ {Avg} = (0 \; - \ Frac {1-Δ_ {1}} {L} \ Frac {1-Δ_ {1}} {C} - \ Frac {1} {RC}) $$

$$ B_ {Avg} = (\ frac {Δ_ {1}} {L} \; 0) $$

$$ C_ {Avg} = (0 \; 1 \; 1 \; 0) $$

$$ D_ {Avg} = (0 \; 0) $$

Mit Gleichung 14 und diesen obigen Matrizen erhalten wir

$ \ frac {I} {V_ {S}} = \ frac {Δ_ {1}} {{R (Δ_ {1} -1)} ^ {2}} $$

und

$$ \ frac {V_ {O}} {V_ {S}} = \ frac {Δ_ {1}} {Δ_ {1} -1} $$ (für den stationären Fall eines Abwärts- / Aufwärtswandlers)

Nun, für Null-Kleinsignal-Arbeitszyklusstörungen, Übertragungsfunktion unter Verwendung von Gleichung 16, können wir folgendes erhalten:

$$ \ frac {\ Scheck {y} (s)} {\ Scheck {δ} (s)} = C_ {Durchschnitt} {(sI-A_ {Durchschnitt})} ^ {- 1} B_ {Durchschnitt} + D_ {Durchschn.} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ prüfen {i_ {L}} (s)} {\ prüfen {V_ {S}} (s)} = \ frac {Δ_ {1} (1 + sCR)} {{s } ^ {2} LCR + sL + {R (1-Δ1)} ^ {2}} $$

und

$$ \ frac {\ check {v_ {o}} (s)} {\ check {v_ {o}} (s)} = R \ frac {Δ_ {1} (1-Δ_ {1})} {{s} ^ {2} LCR + sL + {R (1 - Δ1)} ^ {2}} $$

Die Steuerübertragungsfunktionen, dh das Verhältnis des Ausgangs zu dem Kleinsignal-Tastverhältnis, unter Verwendung von Gleichung 15 sind:

$ \ frac {\ check {i_ {L}} (s)} {\ check {δ} (s)} = \ frac {V_ {S} (\ frac {1 + Δ_ {1} + sCR} { 1-Δ_ {1}})} {{s} ^ {2} LCR + sL + {R (1-Δ1)} ^ {2}} $$

und

$$ \ frac {\ check {v_ {o}} (s)} {\ check {δ} (s)} = \ frac {V_ {S} (R- \ frac {sLΔ_ {1}} {{ (1-Δ_ {1})} ^ {2}})} {{s} ^ {2} LCR + sL + {R (1-Δ_ {1})} ^ {2}} $$

Das kanonische Schaltungsmodell für Buck-Boost Converter

Aus dem Zustands-Raum-Durchschnittsmodell des Buck-Boost-Konverters, das in den Gleichungen 17 und 18 gegeben ist, können wir das folgende kanonische Modell davon erhalten, wie es in Fig. 3 gezeigt ist.

Abbildung 3. Kanonische Schaltung des Buck-Boost-Konverters für das mittlere Zustandsraummodell

State-Space-Mittelwertbildung für den nicht idealen Vorwärtskonverter

Abbildung 4. Schaltplan des nicht idealen Vorwärtskonverters

Zustandsvektor,

$$ x = (i_ {L} \; v_ {c}) $$

Ausgabevektor,

$$ y = (i_ {L} \; v_ {o}) $$

$$ U = (V_ {S}) $$

Wendeverhältnis,

$$ n = \ frac {N2} {N1} $$

Für das Zeitintervall 0 ≤ t ≤ δ 1 T,

Zeitvariable Schaltvariable, δ (t) = 1 für das Einschaltintervall.

Während dieses Intervalls sind die Schalter S und D1 im eingeschalteten Zustand, während D2 im ausgeschalteten Zustand ist.

Und für das Zeitintervall δ 1 T ≤ t ≤ T,

Zeitvariable Schaltvariable, δ (t) = 0 für das Abschaltintervall.

Während dieses Intervalls befinden sich die Schalter S und D1 im ausgeschalteten Zustand, während D2 eingeschaltet ist.

Switch State-Space-Modellgleichungen werden,

$ \ frac {di_ {L}} {dt} = - \ frac {R \; rc + R \; rL + rL \; rC} {L (R + rc)} - \ frac {R} {L ( R + rc) v_ {c}} + δ (t) nV_ {S} $$

$ \ frac {dv_ {c}} {dt} = \ frac {R} {(R + rc) C} i_ {L} - \ frac {1} {(R + r_ {C}) C} v_ { c} $$

$ v_ {o} = \ frac {rc} {1+ \ frac {rc} {R}} i_ {L} + \ frac {1} {1+ \ frac {rc} {R}} v_ {c} $$
Lassen

$$ rm = \ frac {rc} {1+ \ frac {rc} {R0}}, $$ $ Rc = R + rc \,, \, Kc = \ frac {R} {Rc} \,, \, rp = rL + rm $$

Dann,

$$ A_ {01} = A_ {02} = (- \ frac {rp} {L} - \ frac {Kc} {L} \; \ frac {Kc} {C} - \ frac {1} {RC} ) $$

$$ B_ {01} = (\ frac {n} {L} \; 0) $$

$$ B_ {02} = (0 \; 0) $$

$$ C_ {01} = C_ {02} = (1 \; 0 \; rm \; Kc) $$

$$ D_ {01} = D_ {02} = (0 \; 0) $$

Somit ist das Zustandsraum-Durchschnittsmodell

$$ (\ Überstrich {\ Punkt {i_ {L}}} \; \ Überstrich {\ Punkt {v_ {C}}}) = (- \ frac {rp} {L} - \ frac {Kc} {L} \; \ frac {Kc} {C} - \ frac {1} {RC}) (\ Überstrich {i_ {L}} \; \ Überstrich {v_ {c}}) + (\ frac {nδ_ {1}} {L} \; 0) (\ Überstrich {V_ {S}}) $$
und

$$ (\ Überstrich {i_ {L}} \; \ Überstrich {v_ {o}}) = (1 \; 0 \; rm \; Kc) + (0 \; 0) (V_ {S}) $$

Die kanonische oder äquivalente Schaltung, die sich aus diesen zwei Matrizen ergibt, ist nachstehend gezeigt.

Abbildung 5. Kanonische Schaltung des Vorwärtskonverters für das mittlere Zustandsraummodell

Der Eigenwert für diesen Konverter ist

$$ s_ {1, 2} = - \ frac {L + CRc \; rp ± \ sqrt {(- 4Rc \; L \; C (Rc \; {Kc} ^ {2} + rp) + {(L + C Rc \; rp)} ^ {2})}} {2Rc \; L \; C} $$

Mit den Gleichungen 11 und 12 erhalten wir

$$ (\ Punkt {\ Scheck {i_ {L}}} \; \ Punkt {\ Scheck {v_ {c}}}) = (- \ Frac {rp} {L} \; - \ Frac {Kc} { L} \; \ Frac {Kc} {C} \; - \ Frac {1} {RC}) (\ check {i_ {L}} \; \ check {v_ {c}}) + (\ frac {n Δ_ {1}} {L} \; 0) (\ check {v_ {s}}) + (\ frac {nV_ {S}} {L} \; 0) (\ check {δ}) $$

und

$$ (\ check {i_ {L}} \; \ prüfen {v_ {o}}) = (1 \; 0 \; rm \; Kc) (\ check {i_ {L}} \; \ check {v_ {c}}) + (0 \; 0) (V_ {S}) $$

Übertragungsfunktion für Vorwärtskonverter

Steady-State-Übertragungsfunktionen,

$ \ frac {i_ {L}} {V_ {S}} = \ frac {nΔ_ {1}} {{Kc} ^ {2} Rc + rp} $$

und

$ \ frac {V_ {O}} {V_ {S}} = \ frac {nΔ_ {1} ({Kc} ^ {2} Rc + rm)} {{Kc} ^ {2} Rc + rp } $$

Kleinsignal-Eingangsübertragungsfunktionen

$$ \ frac {\ check {i_ {L}} (s)} {\ check {v_ {s}} (s)} = n \ frac {Δ_ {1} (1 + sCRc)} {{s} ^ {2} LC \; Rc + s (L + C \; Rc \; rp) + {Kc} ^ {2} Rc + rp} $$

und

$$ \ frac {v_ {o} (s)} {v_ {s} (s)} = n \ frac {Δ_ {1} ({Kc} ^ {2} Rc + rm + sC \; Rc \; rm)} {{s} ^ {2} LC \; Rc + s (L + C \; Rc \; rp) + {Kc} ^ {2} Rc + rp} $$

Kleinsignal-Steuerungsübertragungsfunktionen,

$$ \ frac {\ check {i_ {L}} (s)} {\ check {δ} (s)} = n \ frac {V_ {S} (1 + s C \; Rc)} {{s} ^ {2} LC \; Rc + s (L + C \; Rc \; rp) + {Kc} ^ {2} Rc + rp} $$

und
$$ \ frac {v_ {o} (s)} {δ (s)} = n \ frac {V_ {S} ({Kc} ^ {2} Rc + rm + sCRc \; rm)} {{s} ^ {2} LC \; Rc + s (L + C \; Rc \; rp) + {Kc} ^ {2} Rc + rp} $$

Eine ähnliche Analyse kann für andere Wandler durchgeführt werden, und einige spezielle Abweichungen können für die Bildung eines Kleinsignal-Zustandsraummodells in Betracht gezogen werden, wie unten für den Tiefsetzsteller gezeigt. Diese Modelle können auch, falls erforderlich, für den diskontinuierlichen Leitungsmodus gebildet werden.

State-Space-Mittelwertbildung für den Abwärtswandler

Die Schaltung für einen nicht isolierten idealen Abwärtswandler ist in 6 gezeigt.

Abbildung 6. Schaltung eines idealen Abwärtswandlers

Wenn der Schalter S in EIN-Zustand ist, sind die Gleichungen

$$ V_ {S} = L \ frac {di_ {L}} {dt} + V_ {C} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {di_ {L}} {dt} = \ frac {V_ {S} -V_ {C}} {L} $$

ebenfalls,

$$ i_ {L} = C \ frac {dv_ {c}} {dt} + \ frac {v_ {c}} {R} $$

Und v o = v c

Die Gleichungen, wenn der Schalter S in der AUS-Bedingung ist:

$ \ frac {di_ {L}} {dt} = - \ frac {v_ {c}} {L} $$

$ \ frac {dv_ {c}} {dt} = \ frac {i_ {L}} {C} - \ frac {v_ {c}} {RC} $$

Und v o = v c

$$ \ dot {x} = (\ frac {di_ {L}} {dt} \; \ frac {dv_ {c}} {dt}) $$

Wenn wir diese Gleichungen mit den Zustandsraumgleichungen von (1) bis (4) vergleichen, erhalten wir

* Hinweis: Die D-Matrix ist null, da kein Feed-Forward-Pfad vorhanden ist.

$$ A_ {01} = A_ {02} = (0 \; - \ Frac {1} {L} \; \ Frac {1} {C} \; - \ Frac {1} {RC}) $$

$$ B_ {01} = (\ frac {1} {L} \; {0}) $$

$$ B_ {02} = (0 \; 0) $$

Abbildung 7. Schaltung des Abwärtswandlers mit Nicht-Idealität

Unter Berücksichtigung der Nicht-Idealität, so dass ein Kondensator einen gewissen Widerstand aufweist, der durch den äquivalenten Widerstand in Reihe des Kondensators RC dargestellt wird. In diesem Fall werden die Matrizen geändert.

Dann werden die Kleinsignalübertragungsfunktionen sein:

Kleinsignal-Steuerungsübertragungsfunktion,

$ \ frac {\ check {v_ {o}} (s)} {\ check {δ} (s)} = \ frac {RV_ {S} (1 + sRc \; C)} {R + s (L + R \; Rc \; C) + {s} ^ {2} (R + Rc) LC} $$

und

Kleinsignal-Eingangsübertragungsfunktion,

$$ \ frac {\ check {v_ {o}} (s)} {\ check {v_ {s}} (s)} = \ frac {RΔ_ {1} (1 + sRc \; C)} { R + s (L + R \; Rc \; C) + {s} ^ {2} (R + Rc) LC} $$

Wenn der Abwärtswandler im diskontinuierlichen Leitungsmodus arbeitet, gibt es drei Intervalle in einer Schaltperiode; und die durchschnittliche Zustandsraumkoeffizientenmatrix wird wie nachstehend angegeben ausgedrückt.

$$ \ overline {A} = A_ {1} d_ {1} + A_ {2} d_ {2} + A_ {3} (1-d_ {1} -d_ {2}) $$

$$ \ overline {B} = B_ {1} d_ {1} + B_ {2} d {2} + B_ {3} (1-d_ {1} -d_ {2}) $$

Abbildung 8. Schaltzustände des Abwärtswandlers im diskontinuierlichen Leitungsmodus

Im diskontinuierlichen Leitungsmodus für den Abwärtswandler ist die durchschnittliche Zustandsraumgleichung in der Matrixform unten gezeigt.

$$ (\ Überstrich {\ Punkt {x_ {1}}} \; \ Überstrich {\ Punkt {x_ {2}}}) = (0 \; - \ frac {d_ {1} + d_ {2}} { L} \; \ frac {d_ {1} + d_ {1}} {C} - \ frac {1} {RC}) (x_ {1} \; x_ {2}) + (\ frac {d_ {1 }} {L} \; 0) u_ {1} $$

Der Nachteil der Zustandsraummittelungstechnik

Dieses Zustandsraummodell ist möglicherweise nicht in der Lage, die "Seltenheit" der Verbindung anzuzeigen. Es ist jedoch kein Problem für Leistungselektronikschaltungen im Vergleich zu Systemen mit großer Leistung. In Fällen, in denen dies als ein Problem angesehen wird, kann eine verallgemeinerte Technik für das Zustandsraummodell implementiert werden.