Ableiten und Plotten einer Tiefpassübertragungsfunktion auf MATLAB

Übertragungsfunktion ► Systeme 1.Ordnung ► RC-Tiefpass (Kann 2019).

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Anonim

Ableiten und Plotten einer Tiefpassübertragungsfunktion auf MATLAB


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Einführung in Filter

Ein Filter ist eine Schaltung, die unerwünschte Frequenzen aus einer Wellenform entfernt. Filter können verwendet werden, um Rauschen von einem System zu entfernen, um es sauberer zu machen. Es besteht aus zwei Hauptbändern: dem Passband und dem Stoppband.

Um das Durchlassband und das Stoppband in einem Filter zu verstehen, müssen wir Bode-Plots verstehen. Ein Bode-Diagramm ist ein Diagramm, das die Antwort von Frequenzen verfolgt. Es zeigt die Größe eines Signals in Bezug auf die Frequenz. Die Größe oder die Amplitude wird in Dezibel gemessen und auf der Y-Achse des Bode-Diagramms aufgetragen. Die X-Achse des Bode-Diagramms ist die Frequenz des Filters.

Abbildung 1. Beispiel für ein Tiefpass-Bode-Diagramm

Das obige Bild ist ein Bode-Plot für ein Tiefpassfilter. Die Frequenzen im Durchlassbereich sind die Frequenzen mit einer Amplitude von 0 Dezibel oder darüber. Die Frequenzen nach den Grenzfrequenzen f c befinden sich im Sperrbereich. Die Frequenzen, die wir entfernen möchten, befinden sich im Sperrbereich, wenn die Amplitude kleiner als Null ist.

Je nachdem, welche Frequenzen entfernt werden sollen, variiert die Position des Durchlassbereichs, um die vier Hauptfiltertypen zu erstellen. Die vier wichtigsten Antworttypen sind:

  • Hochpassfilter
  • Tiefpassfilter
  • Bandpassfilter
  • Bandstoppfilter

Die Reihenfolge eines Filters gibt an, wie steil die Steigung ist. Für jeden Raise in der Reihenfolge eines Filters gibt es eine Erhöhung der Filterflanke um 6 db / Oktave. Ein idealer perfekter Filter hätte eine Steigung von unendlich. Es würde wie eine Rechteckwelle aussehen. Leider können diese idealen Filter nicht im wirklichen Leben hergestellt werden, und wir können nur Filter herstellen, die einen Abfall oder eine Steigung so nahe wie möglich haben.

Abbildung 2. Frequenzgang eines idealen Filters

Akerberg-Mossberg Biquad Filter

Abbildung 3. Akerberg Mossberg Filter

Das Akerberg-Mossberg-Filter, wie es in 3 zu sehen ist, ist ein Miller-Integrator mit einem nichtinvertierenden Integrator im Ausgang. Die Vorteile der Verwendung eines Akerberg-Mossberg-Filters bestehen darin, dass das Design einfacher ist und der Q (Qualitätsfaktor der Frequenzantwort) besser vorhersagbar ist und der Fehler in der Verstärkung minimiert wird. Die normalisierte Version des obigen Akerberg-Mossberg Circuit benötigt eine summierende Konfiguration, um eine Schaltung entwerfen und auf MATLAB plotten zu können.

Die Summierstrecke am Ende des Akerberg-Mossbergs sieht dann so aus:

Abbildung 4. Das Akerberg-Mossberg-Filter mit addierter Summierungsschaltung

Der Summer addiert die Eingangssignale und das Signal von den Bandpass- und Tiefpassausgängen. Für den Ackerberg-Mossberg mit einer Summierschaltung ist die Transferfunktion die folgende Gleichung.

Gleichung 1. Allgemeine Übertragungsfunktion des Akerberg-Mossberg mit einer Summierschaltung

Mit dieser Übertragungsfunktion haben wir jetzt 5 Variablen, mit denen wir spielen können, um unsere gewünschte Frequenzantwort zu erhalten. Unsere 5 Variablen sind a, b, c, d und k. Wir werden nur diese Variablen manipulieren, um den Zähler zu ändern; Unser Nenner wird gleich bleiben. Mit dieser Übertragungsfunktion können wir die Übertragungsfunktion für alle Arten von Filtern wie Tiefpass, Hochpass, Bandpass, Bandstopp, Allpass, Tiefpasskerbe und eine Hochpasskerbe herleiten.

Ableiten einer Tiefpassübertragungsfunktion

Die Übertragungsfunktion für ein Tiefpass-Akerberg-Mossberg-Filter ist unten in Gleichung 2 zu sehen.

Gleichung 2. Tiefpass Ackerberg Mossberg

Nun müssen wir die korrekten Werte für a, b, c und d in Gleichung 1 finden, um mit der Übertragungsfunktion des Tiefpassfilters zu enden. Wir sehen, dass der Zähler, den wir wollen, nur w 0 2 hat, also müssen wir die anderen Monome loswerden, um w 0 2 allein zu lassen. Die erste Variable, die wir loswerden wollen, ist der erste Begriff, wie 2 . Also setzen wir in diesem Fall a = 0. Der zweite Ausdruck in der Übertragungsfunktion der Gleichung 1 hat die Variablen "a" und "b". Wir wollen es gleich Null machen, da wir nur wollen, dass w 0 2 im Zähler bleibt.

In diesem Fall wurde unser "a" bereits im ersten Term auf 0 gesetzt und um dies zu einer Null zu machen, müssen wir auch "b" auf 0 setzen. Dadurch wird dieser zweite Term gelöscht, indem er gleich Null gemacht wird .

Um nun den letzten Term w 0 2 zu geben, müssen wir unsere verbleibenden Werte "d" und "k" finden. Beachten Sie, dass wir k vorher nicht gefunden haben, weil es mit "b" multipliziert wurde, was Null war.

Unser "a" und "c" sind bereits gesetzt, also fehlen uns "d" und "k". Um diese Konfiguration zu ermöglichen, müssten wir "d" und "k" beide gleich 1 machen. Sobald diese Variablen eingefügt sind, haben wir im Zähler die verbleibende Übertragungsfunktion.

Nun, da wir alle unsere Werte haben, können wir sie in MATLAB einfügen, um den Frequenzgang für diesen Filter zu zeichnen.

Grafische Darstellung in MATLAB

Zu Beginn machen wir ein neues Skript in MATLAB.

Da die Frequenzantwort oder das Bode-Diagramm logarithmisch ist, deklarieren wir zunächst einen logarithmisch beabstandeten Vektor. Wir werden verwenden:

 w = logspace(0, 9, 200); % THE FIRST TWO POINTS ARE THE BOUNDARIES OF THE GRAPH. THE 200 IS THE NUMBER OF POINTS THAT WILL BE GENERATED s=j.*w; a=0; b=0; c=0; d=1; k=1; Q=1; w0=1000; % Chosen Cutoff Frequency tn = -((a*(s.^2))+(s.*(w0/Q))*(a-(b*k*Q))+(w0^2*(a-(cd)*k))); %numerator of transfer function td = (s.^2)+(s.*(w0/Q))+(w0^2); % the denominator of the transfer function t1 = tn./td; %numerator over the denominator plot(log10(w), 20*log10(abs(t1)));grid on;title('Lowpass') % matlab will now plot our transfer function with respect to the graph we declared 

MATLAB-Code

Sobald all dies in MATLAB eingegeben und gespeichert wurde, erscheint dieses Diagramm, wenn das Skript ausgeführt wird, mit einem Tiefpass mit dem Cutoff bei der Frequenz w0.