Mathematische Konstruktion und Eigenschaften des Smith-Diagramms

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Anonim

Mathematische Konstruktion und Eigenschaften des Smith-Diagramms


Smith Charts sind ein äußerst nützliches Werkzeug für Ingenieure und Designer, die sich mit HF-Schaltungen befassen. Dieser Artikel behandelt die Mathematik hinter dem Erstellen des Diagramms und seiner physischen Interpretation.

Empfohlene Stufe

Mittlere

Einführung

Das Smith Chart wird seit den 1930er Jahren als eine Methode zur Lösung verschiedener HF-Designprobleme verwendet - insbesondere Impedanzanpassung mit Serien- und Shuntkomponenten - und es bietet eine bequeme Möglichkeit, diese Lösungen ohne den Einsatz eines Rechners zu finden. Um die Konstruktion des Diagramms zu verstehen, müssen Sie die High-School-Algebra und die Grundlagen komplexer Zahlen verstehen sowie ein grundlegendes Verständnis der Impedanz in elektronischen Schaltungen haben. Das heißt, selbst wenn Sie die folgende Ableitung nicht vollständig verstehen, können Sie das Diagramm weiterhin verwenden, um Ihnen bei Ihrem eigenen Entwurf zu helfen. Indem wir die Formel des Standardreflexionskoeffizienten nehmen und so manipulieren, dass sie uns die Gleichungen für Kreise mit verschiedenen Radien liefert, können wir das grundlegende Smith-Diagramm konstruieren. Das ist alles, was das Smith-Diagramm wirklich ist: eine Sammlung von Kreisen, von denen jeder an einer anderen Stelle in (oder außerhalb) der Handlung zentriert ist und jeder entweder konstanten Widerstand oder konstante Reaktivität darstellt .

Ableiten des Smith-Diagramms

Sobald wir die Ableitung hinter uns haben, wird es ein paar vereinfachte Bilder geben, die zeigen, wie diese Gleichungen verwendet und kombiniert werden können, um das Endprodukt zu erhalten. Beginnen wir mit dem Schreiben der Gleichung für den Reflexionskoeffizienten einer Lastimpedanz bei gegebener Quellenimpedanz:

$$ \ Gamma = \ frac {Z_ {Quelle} -Z_ {Laden}} {Z_ {Quelle} + Z_ {Laden}} $$

Der Reflexionskoeffizient ist nur das Verhältnis der komplexen Amplitude einer reflektierten Welle zur Amplitude der einfallenden Welle. Dies ist die Hauptgleichung, die wir verwenden werden, aber es wird einige schnelle Umwandlungen geben. Zuerst wollen wir es ein wenig vereinfachen, indem wir die Gleichung in Bezug auf Z load normieren und jeden Ausdruck auf der rechten Seite dividieren:

$$ \ Gamma = \ frac {\ frac {Z_ {Quelle}} {Z_ {Laden}} - \ Frac {Z_ {Laden}} {Z_ {Laden}}} {\ Frac {Z_ {Quelle}} {Z_ { Laden}} + \ frac {Z_ {Laden}} {Z_ {Laden}}} $$

$$ \ Gamma = \ frac {Z_ {O} -1} {Z_ {O} +1} $$

Woher,

$$ Z_ {O} = \ frac {Z_ {Quelle}} {Z_ {Laden}} $$

An dieser Stelle sei daran erinnert, dass Z 0, das eine Impedanz mit komplexem Wert ist, in der Form R + jX dargestellt werden kann. Da der Reflexionskoeffizient (der momentan in polarer Form vorliegt) auch in rechtwinkligen Koordinaten dargestellt werden kann (wir verwenden A + jB dafür), kann die obige Formel in diese umgewandelt werden:

$$ A + jB = \ frac {R + jX -1} {R + jX + 1} $$

Groß! An diesem Punkt haben wir die Gleichung in der Form, die wir brauchen, um das Smith-Diagramm zu konstruieren. Der nächste Schritt - das Lösen der reellen und imaginären Teile der Gleichung - ist wahrscheinlich der schwierigste Teil der gesamten Ableitung, und selbst dann müssen Sie nur das Konzept der komplexen Konjugate verstehen, um es zu tun. Lassen Sie uns fortfahren und teilen Sie es in reale und imaginäre Komponenten, zuerst durch Multiplikation mit dem komplexen konjugiert (es hilft, wenn Sie die vorhandenen realen und imaginären Teile mit Klammern wie unten gezeigt):

$$ A + jB = \ frac {(R-1) + jX} {(R + 1) + jX} \ cdot \ frac {(R + 1) -jX} {(R + 1) -jX} $$

$$ A + jB = \ frac {R ^ 2-1 + X ^ 2 + 2jX} {(R + 1) ^ 2 + X ^ 2} $$

An diesem Punkt können wir die realen und imaginären Komponenten trennen. Danach wird es zwei abschließende Vereinfachungen geben, bevor wir die Gleichungen haben, um das Smith-Diagramm zu zeichnen. Hier sind die getrennten Real- und Imaginärteile (wir nennen sie die Gleichungen 1 und 2):

$$ A = \ Frac {R ^ 2-1 + X ^ 2} {(R + 1) ^ 2 + X ^ 2} \ Text {(Gleichung 1)} $$

$ B = \ Frac {2X} {(R + 1) ^ 2 + X ^ 2} \ Text {(Gleichung 2)} $$

Schließlich wirst du noch etwas mehr Algebra machen wollen (langweilig, ich weiß). Wenn Sie die reale Komponente A für X 2 lösen, erhalten Sie Gleichung 3:

$$ X ^ 2 = \ Frac {A (R + 1) ^ 2-R ^ 2 + 1} {1-A} \ Text {(Gleichung 3)} $$

Sie können dies in Gleichung 2 ersetzen, um die erste unserer beiden abschließenden Gleichungen zu erhalten, die es uns ermöglicht, die Kreise mit konstantem Widerstand zu bestimmen (Gleichung 4):

$$ (A- \ frac {R} {R + 1}) ^ 2 + B ^ 2 = (\ frac {1} {R + 1}) ^ 2 \ text {(Gleichung 4)} $$

Sieht das bekannt aus "text-align: center;"> $$ R = \ frac {\ sqrt {-BX (BX-2)} - B} {B} $$

Wenn Sie in Gleichung 1 ersetzt und vereinfacht werden, erhalten Sie dieses Ergebnis (Gleichung 5):

$$ (A-1) ^ 2 + (B- \ frac {1} {X}) ^ 2 = (\ frac {1} {X}) ^ 2 \ text {(Gleichung 5)} $$

Genau wie das vorherige Ergebnis ist dies ein Kreis mit dem Radius $$ \ frac {1} {X} $$ , aber dieses Mal gibt es zwei Gruppen von Kreisen (mehr dazu ein bisschen) mit Zentren bei ($ 1 $ $, $$ 1 / X $$). Dies sind Kreise (sie erscheinen als Bögen auf dem Diagramm) der konstanten Reaktanz. Jetzt sollten Sie sehen, wie das Standard Smith Chart gezeichnet wird; es besteht aus konstanten Widerstandskreisen, die zusammen mit den konstanten Reaktanzlichtbögen grafisch dargestellt sind. Im Folgenden finden Sie einige vereinfachte Bilder der beiden grafisch dargestellten und kombinierten Graphen. Aber lasst uns zuerst darüber sprechen, wie man das Smith-Diagramm und seine physikalische Relevanz interpretiert.

Aus der Analyse der von uns abgeleiteten Gleichungen lassen sich einige Informationen gewinnen. Hier sind nur einige der wichtigsten Dinge:

  1. Bei unendlichen R und X konvergieren beide Arten von Kreisen zur gleichen Stelle (typischerweise auf einem Smith-Diagramm ganz rechts oder ganz links im Diagramm dargestellt). Das ist an dem Punkt (1, 0).
  2. Wenn Sie R = 0 setzen, wird ein Kreis um (0, 0) in Ihrem Diagramm mit einem Radius von 1 zentriert, der die "Grenze" des Diagramms darstellt.
  3. Annäherung an X = 0 ergibt einen unendlichen Radius; Dies wird durch eine Linie dargestellt, die die Mitte des Diagramms kreuzt. Wie interpretieren wir das? Dies wird oft als echte Achse bezeichnet . In Bezug auf Reaktanzen stellen die Linien über der reellen Achse im Diagramm (die positiven Bögen aus der zweiten abgeleiteten Gleichung) induktive Reaktanzen dar, während die unteren (negative Bögen) kapazitive Reaktanzen darstellen.
  4. Was passiert wenn R <0? Das Smith-Chart-Standard-Schema liefert dazu nicht viele Details, aber Situationen mit R, die außerhalb der Grenzen liegen, deuten auf eine Oszillation in irgendeinem Möchtegern-Schaltkreis hin (was ziemlich praktisch ist).
  5. Basierend auf dem Wissen, das wir jetzt zu Widerstand und Reaktanz auf dem Diagramm haben, wissen wir, dass jeder Punkt eine Reihenkombination aus Widerstand und Reaktanz darstellt (R + jX). Das hilft uns, wenn wir etwas planen wollen.

Konstante Widerstandskreise

Konstante Reaktanz-Bögen

Widerstands-Kreise und Reaktanz-Bögen: Basic Smith Chart

Verwenden des Diagramms zur Impedanzmanipulation

Wie benutzt man das Diagramm? Um eine Impedanz für die Impedanzanpassung aufzuzeichnen, ist es am besten, den entsprechenden konstanten Widerstandskreis zu finden (den, der dem Realteil Ihrer Impedanz entspricht) und dann entlang seines Bogens zu verfahren, bis Sie seinen Schnittpunkt mit dem entsprechenden Reaktanzwert finden .

Angenommen, Sie haben eine Impedanz von Z = 0, 3 - 0, 6j. Finde zuerst den 0, 3 konstanten Widerstandskreis. Da Ihre Impedanz einen negativen komplexen Wert hat, stellt dies eine kapazitive Impedanz in dem theoretischen seriellen Netzwerk dar, und Sie bewegen sich gegen den Uhrzeigersinn entlang des Widerstandskreises von 0, 3, um zu finden, wo sie den -0, 6-Reaktanzbogen trifft (wenn es ein positiver Komplex wäre) Wert, würde es eine Induktivität darstellen und Sie würden im Uhrzeigersinn bewegen). Sie können dies weiterhin als einfache Möglichkeit zur Impedanzanpassung für Ihre Schaltung ausführen, wobei das Smith Chart eine sehr intuitive physische Hilfe darstellt. Sie müssen nur diese Schritte ausführen:

  1. Wenn Sie den Wert für die Lastimpedanz kennen, suchen Sie ihn im Smith Chart und verwenden Sie ihn als Startposition.
  2. Wenn Sie die Impedanz kennen, die die Quelle "sehen" möchte, können Sie Serienkomponenten hinzufügen (Shunts werden unten erwähnt), indem Sie Reaktanzwerte addieren und subtrahieren, bis Sie die gewünschte Impedanz haben.

Es ist wichtig, zwei Dinge zu beachten:

  1. Sie können in der Praxis oft feststellen, dass die Zahlen in Ihrem Diagramm im Vergleich zu den gesuchten Komponentenwerten klein sind. Hier kommt wieder die Normalisierung ins Spiel; Es ist oft am bequemsten, die Impedanz (z. B. Z = 200 + j400), mit der Sie arbeiten, zu normalisieren, indem Sie sie durch den Wert dividieren, der die Berechnung am einfachsten macht (oft ist dies der Wert der realen Komponente) Beurteilung). Auf diese Weise können Sie in einem weniger überfüllten Bereich des Smith Chart arbeiten, was mich zum nächsten Punkt bringt:
  2. Es ist einfach, mit einem Smith-Chart zu arbeiten, das sich mit Impedanzwerten beschäftigt, die näher am Punkt liegen (1, 0). In diesem Fall haben Sie Schwierigkeiten mit Fehlern in Ihren berechneten Werten. Deshalb ist es am besten, die Impedanzwerte zu normalisieren, wenn Sie mit dem Diagramm arbeiten. Dadurch können Sie beim Anpassen von Impedanzen mit breiteren Lichtbögen arbeiten und beim Hinzufügen von Komponenten in Serie weiterhin Genauigkeit gewährleisten.

Eine letzte Anmerkung - Admittanz- und Immitanzdiagramme

Bisher wurde der Eintritt in die Smith Chart nicht erwähnt. Wenn Sie nicht vertraut sind, ist der Eintritt Y der reziproke Wert der Impedanz oder $$ Y = \ frac {1} {Z} $$. Die Ausdrücke, die dem Widerstand und der Reaktanz entsprechen, werden Leitfähigkeit bzw. Suszeptanz genannt . Es ist tatsächlich überraschend einfach, das entsprechende Diagramm für den Einlass zu zeichnen - alles, was Sie tun müssen, ist das Diagramm horizontal zu spiegeln. Dies ist auch ein wichtiger Schritt, denn wenn Sie es umdrehen, haben Sie jetzt ein Diagramm, das Ihnen beim Umgang mit Shunt-Komponenten und nicht in Reihen hilft.

Der Prozess des Auftragens der Admittanz ist im Wesentlichen umgekehrt - wo das Hinzufügen eines Induktors zu einer Reihenschaltung den Impedanzwert im Uhrzeigersinn entlang eines konstanten Widerstandskreises bewegen würde, würde ein Nebenschlussinduktor ihn gegen den Uhrzeigersinn entlang eines konstanten Admittanzkreises bewegen; Shunt-Kondensatoren bewegen Ihre Werte ähnlich im Uhrzeigersinn auf einer Admittanzkarte, wo ein Serienkondensator gegen den Uhrzeigersinn ist.

Durch die Kombination beider Diagrammtypen erhält man ein so genanntes Immitanzdiagramm, das (wenn man ein paar weitere Details hinzufügt, die hier nicht behandelt werden) sogar noch nützlicher wird als das Standard-Smith-Diagramm, obwohl es für jemanden, der es tut, sicherlich einschüchternder wirkt ist nicht vertraut mit, wie es erstellt wird.

Hoffentlich hat Ihnen dieser Artikel einen guten Überblick darüber gegeben, wie das Smith-Diagramm aufgebaut ist und funktioniert. Achten Sie darauf, im Folgenden Anmerkungen zu Bedenken oder Fragen zu machen.