Max & Math: Maxwell-Gleichungen in relativistischen Zeiten

James C. Maxwell (Kann 2019).

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Anonim

Max & Math: Maxwell-Gleichungen in relativistischen Zeiten


Hier ist die Geschichte davon, wie Maxwells Theorien über die Wechselwirkung elektromagnetischer Felder von 12 Gleichungen in zwei umgewandelt wurden.

Maxwell-Gleichungen werden kompakter, wenn Mathematik moderner wird. Maxwell präsentierte ursprünglich 20 Gleichungen mit partiellen Differentialen. Unter Verwendung von Vektoren benötigte Heaviside vier Gleichungen, um dieselben Ideen auszudrücken. Jetzt, mit Tensoren und 4D "relativistische" Notation, nur zwei Gleichungen benötigt werden. Lass uns einen Blick darauf werfen.

Wenn Sie mit Maxwells Gleichungen nicht vertraut sind, können Sie hier beginnen: Maxwell-Gleichungen in der vorliegenden Form.

Klassische Grundlagen

Im Jahr 1864 präsentierte James Clerk Maxwell der Welt eine neue Einheit: das elektromagnetische Feld. Er hat als Erster die Wechselwirkung von elektrischen und magnetischen Feldern mathematisch beschrieben. Er fuhr fort, Licht als eine Form von elektromagnetischer Energie zu identifizieren. Die partiellen Differentialgleichungen, die er verwendete, waren der "Stand der Technik" für seine Zeit, um die 1860er Jahre.

Ein Porträt von James Clerk Maxwell von GJ Stodart.

Maxwell war sich bewusst, dass die Mathematik ein Hindernis für die Akzeptanz seiner Theorien darstellte. Er versuchte ihre erste Neuformulierung unter Verwendung von Quaternionen, die von William Hamilton entwickelt wurden. Quaternions könnten verwendet werden, um 3D-Rotationen zu beschreiben, und während Maxwell meinte, sie würden seine Theorien besser beschreiben, erleichterten sie die Mathematik nicht.

Quaternions fielen gegen Ende des 19. Jahrhunderts in Ungnade mit Mathematikern, aber sie haben moderne Verwendung in der 3D-Computerspielentwicklung gefunden. Die Verarbeitung von Quaternionen ermöglicht bessere Glättungsfunktionen.

Erst 1884, als Oliver Heaviside die 12 Gleichungen, die elektromagnetische Phänomene beschreiben, neu formulierte, begann Maxwells Arbeit zu verstehen. Mithilfe seiner Vektoranalyse verwandelte Heaviside Maxwells 12 Gleichungen in vier.

Dies sind die bekannten vier Gleichungen, die üblicherweise als Maxwell-Gleichungen bezeichnet werden. Mit Maxwells Theorien in Vektoren ausgedrückt, begann die wissenschaftliche Gemeinschaft, den Wert von Maxwells Beiträgen zu schätzen. Forscher auf der ganzen Welt konzentrierten sich auf die Erzeugung elektromagnetischer Wellen.

1888 konnte Heinrich Hertz elektromagnetische Wellen außerhalb des sichtbaren Spektrums erzeugen und Maxwells Theorien beweisen.

Der Dipolresonator Hertz versuchte Maxwells Theorien zu beweisen. Aus der Zeitschrift Electrical Communication, 1927.

Wenn man sich die Vektorgleichungen anschaut, könnte man denken, dass dies die Schlussfolgerung für Maxwells Gleichungen war: vier sauber verpackte Gleichungen, die die Wechselwirkung von elektrischen und magnetischen Feldern und ihre Beziehung zur Optik beschreiben.

Aber was ist mit Photonen, die aus verschiedenen Bezugsrahmen auf dasselbe Objekt "schauen" - ein elektrisches, ein magnetisches, ein ruhendes System, ein sich bewegendes.

Als Einstein auf Tensoren aufmerksam wurde, sah er Möglichkeiten.

Tensor-Kalkül

Gregorio Ricci-Curbustro entwickelte einen Zweig der Mathematik, der in der absoluten Differentialrechnung verwurzelt ist. Er ist verantwortlich für die Grundlagen der Tensorrechnung.

In den frühen 1900er Jahren veröffentlichte sein Schüler Tullio Levi-Civita das Buch The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors) . Tensors waren nicht auf ein Bezugsfeld angewiesen; Sie präsentierten eine Struktur, die zwischen Bezugsrahmen beschrieben und manipuliert werden konnte. Einstein lernte den Tensor-Kalkül und entwickelte sogar ein System von Indizes, mit dem Objekte mathematisch beschrieben werden konnten. Einstein verwendete Tensoren in seinem Aufsatz über Allgemeine Relativitätstheorie, der 1915 veröffentlicht wurde.

Was Tensoren tun, erlaubt es, komplexere Operationen ähnlich zu einfacheren Berechnungen zu beschreiben und zu behandeln. In der Tensorform kann das Objekt nach den Regeln des Tensor-Kalküls manipuliert werden. Tensoren ermöglichen auch Transformationen und Manipulationen unabhängig vom Referenzrahmen. Die Komponenten, die Tensoren bilden, können sich mit dem Bezugssystem ändern, aber insgesamt ist ein Tensor in einem Bezugssystem das gleiche physikalische Objekt in einem anderen Bezugssystem.

Ein Beispiel für einen visualisierten Tensor zweiter Ordnung. Bild mit freundlicher Genehmigung von Timothy Rias, abgeleitet von Originalarbeiten von Sanpaz (CC BY-SA 3.0)

Wenn mathematische Systeme komplexer werden und ihre Strukturen mehr Informationen enthalten, ermöglichen sie kompaktere Ausdrucksmöglichkeiten. Vektoren kondensierten Maxwells 12 Originalgleichungen in vier. Tensoren erlauben es, sie in zwei auszudrücken!

Wir haben Beispiele aus dem Bereich der Informationstechnologie gesehen, in denen komplexere Datenstrukturen die einfache Handhabung von Daten ermöglichen. Anstatt sich auf eine bestimmte Person mit Vor- und Nachnamen sowie anderen zugehörigen Informationen zu beziehen, können wir eine Datenstruktur mit dem Namen "NameField" erstellen. Diese Datenstruktur kann die Informationen enthalten, die es uns ermöglichen, Systeme zu entwerfen und zu verwenden, die das NameField verwenden und bearbeiten, ohne in die tatsächlichen Details der Komponenten des Namens verstrickt zu werden.

Wenn dieses NameField in eine erweiterte Datenstruktur mit noch mehr Informationen mit der Bezeichnung "Person" integriert wird, ermöglicht dies eine noch einfachere Konzeptualisierung von Personen. Die komplexeren Strukturen enthalten noch mehr Informationen und bieten eine bessere Organisation.

Die gleichen Ideen gelten auch für fortgeschrittene mathematische Strukturen. Die Strukturen tragen die Informationskomponenten in sich.

Tensoren werden mathematisch als Arrays dargestellt. Die Anzahl der Indizes des Arrays wird als der Rang oder die Reihenfolge des Tensors bezeichnet. Um eine einzelne Komponente des Arrays zu beschriften, benötigen Sie so viele Indizes. Ein Tensor der Stufe 4 wird durch eine 4 × 4-Matrix repräsentiert. Für jede Komponente müssen Sie die Indizes für ihre Position im Array angeben. Die erste Komponente kann mit A 1 , 1, 1, 1 bezeichnet sein .

Tensoren von Rang 0 sind Skalare (Zahlen); Rang 1 sind Vektoren (eine Spalte von Zahlen); Rang 2 sind Matrizen (Spalten und Zeilen); und schließlich gibt es mehrdimensionale Arrays von Rang n.

Rang: Name:
0 Skalar
1 Vektor
2 Matrix
n n-Tensor

Die mathematischen Operationen, denen Tensoren folgen, ändern sich abhängig vom Rang des Tensors. Es gibt spezifische Operationen für Vektoren, Matrizen, 3-Tensoren, 4-Tensoren und n-Tensoren.

Arbeiten mit vier Dimensionen

In einem relativistischen System haben die Basiskoordinaten vier Dimensionen (t, x, y, z), mit der Zeit als zusätzliche Komponente. Kartesische dreidimensionale Systeme haben nur drei Komponenten (x, y, z).

Die elektrischen und magnetischen Felder, die in einem klassischen System als getrennte Entitäten betrachtet werden, werden Bestandteile eines einzelnen antisymmetrischen 4 × 4-Tensors in einem relativistischen System. In der klassischen Ansicht war das elektrische Feld ein Vektor und das Magnetfeld ein Pseudo-Vektor.

Hinweis: Die folgenden Bilder von Gleichungen sind mit freundlicher Genehmigung von Wikipedia.

Der elektromagnetische Tensor wird wie folgt beschrieben:

Beachten Sie, dass es nur Komponenten des elektrischen und magnetischen Feldes als Unbekannte gibt; Beachten Sie auch, dass die Lichtgeschwindigkeit beteiligt ist.

Mit diesem Tensor kann eine Gleichung das Gaußsche Gesetz und das Ampere-Maxwell-Gesetz beschreiben (für β = 1, 2, 3):

woher

$$ J ^ {\ beta} $$ = (cp Jx Jy Jz), die Ladung und Stromdichte Vier-Vektor.

Diese Feldtensorgleichung umfasst zwei Vektorgleichungen:

Die anderen beiden Vektorgleichungen drücken das Gauß'sche Gesetz für den Magnetismus und das Faradaysche Gesetz aus:

Diese können auf die Bianchi-Identität reduziert werden:

was mit relativistischer Notation als gegeben werden kann

Mehr Maxwell

Also, ist das für Maxwells ursprüngliche Gleichungen? NEIN!

Diese Tensorformulierungen sind nur eine Möglichkeit, die Maxwell-Gleichungen zu präsentieren. Und neben dem Einfluss verschiedener mathematischer Ansätze betrachten Physiker elektromagnetische Phänomene auf eine Art, Mathematiker auf andere.

Sie sehen Gleichungen für Vakuum (wo ohne Materie, Ladung und Stromdichten Null sind). Es gibt Gleichungen für bestimmte Randbedingungen, Anfangsbedingungen, Oberflächenbedingungen mit und ohne spezifische Zeitrahmen. In kleinen Quantensystemen werden Wellen-Teilchen-Neuformulierungen verwendet; Beim Arbeiten mit Photonen in der Quantenfeldtheorie erscheinen elektrische und magnetische Felder nicht in den Gleichungen.

Warum werden die klassischen Gleichungen noch gelehrt? Die klassischen Gleichungen sind immer noch gültig, wenn es um nicht-relativistische Geschwindigkeiten im normalen Maßstab geht, dh um den Kontext, in dem die meisten unserer technischen Probleme existieren. Die Vektorgleichungen liefern richtige Antworten für viele technische Probleme, und die Mathematik ist einfacher als mit den fortgeschrittenen Gleichungen.

Im Zentrum der Mathematik stehen die physikalischen Phänomene der elektromagnetischen Energie - wie bewegte Ladungen eine sich selbst mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitende Welle erzeugen. Das war Maxwells wahres Geschenk.

Zusammenfassung

Der Tensor-Kalkül erlaubt die Neuformulierung der Maxwell-Gleichungen mit dem elektromagnetischen Tensor in zwei Gleichungen. Es gibt viele Möglichkeiten, Maxwellsche Gleichungen zu präsentieren, und mathematische Strukturen werden immer noch zur Analyse elektromagnetischer Phänomene entwickelt. Die klassischen Gleichungen gelten jedoch immer noch für die meisten technischen Probleme, weshalb sie immer noch verwendet werden.