Komplex-Konjugierte Pole in der Filtertheorie verstehen

Partialbruchzerlegung ► Abdeckregel (Grenzwertmethode) ► Fall 3: Konjugiert komplexe Nullstellen (Januar 2019).

Anonim

Komplex-Konjugierte Pole in der Filtertheorie verstehen


Diese technische Beschreibung erklärt die Bedeutung von komplex-konjugierten Polen und Stufen zweiter Ordnung bei der Optimierung der Filterleistung.

Zugehörige Informationen

  • Was ist ein Filter "// www.allaboutcircuits.com/worksheets/active-filters/" target = "_ blank"> Arbeitsblatt für aktive Filter
  • Operationsverstärker-Anwendungen - Aktive Filter
  • Induktor Out, Op-Amp In: Eine Einführung in aktive Filter zweiter Ordnung

Es gibt zwei Möglichkeiten, eine Filterantwort zweiter Ordnung (dh zweipolig) zu erzielen: Kaskadieren Sie zwei Filter erster Ordnung oder verwenden Sie eine Topologie zweiter Ordnung. Ein Beispiel für den ersteren sind zwei in Reihe geschaltete Widerstands-Kondensator (RC) -Tiefpassfilter, wobei der Ausgang des ersten durch einen Spannungsfolger gepuffert ist. Beispiele für Letzteres sind passive Widerstands-Kondensator-Induktivitäts- (RLC) -Filter und aktive Filter wie der Sallen-Key.

Selbstverständlich gilt diese Erörterung auch für Filter höherer Ordnung: Eine vierpolige Antwort kann von vier kaskadierten Stufen erster Ordnung oder von zwei kaskadierten Stufen zweiter Ordnung geliefert werden.

Es gibt eine ansprechende Einfachheit, die den Ansatz der Kaskadenstufen erster Ordnung umgibt. Alles, was Sie für einen Filter zweiter Ordnung brauchen, sind einige rudimentäre Berechnungen, ein Operationsverstärker, zwei Widerstände und zwei Kondensatoren (drei, wenn Sie die Bypass-Kappe des Operationsverstärkers verwenden). Warum also so viel über Topologien zweiter Ordnung? Nun, die Antwort auf diese Frage führt zu einem wichtigen Konzept in der Filtertheorie: komplex-konjugierte Pole.

Erinnern Sie sich daran, dass komplexe Konjugate reelle Teile haben, deren Größe und Vorzeichen gleich sind, und imaginäre Teile, die gleich groß und entgegengesetzt sind. Lassen Sie uns dies mit der s-Ebene visualisieren:

Hier haben wir komplex konjugierte Pole auf der linken Seite der imaginären Achse (wo Sie die Pole haben wollen, es sei denn, Sie entwerfen einen Oszillator anstelle eines Filters). Sie haben den gleichen Abstand von der reellen Achse und der imaginären Achse, aber sie werden über die reelle Achse gespiegelt, weil man einen positiven Imaginärteil und einen negativen Imaginärteil hat.

Komplexe konjugierte Pole sind wichtig, weil sie es dem Entwickler ermöglichen, ein Filter so zu optimieren, dass es ein maximal flaches Durchlassband, einen schnellen Übergang von Durchlassband zu Sperrband oder konstante Gruppenverzögerung (dh lineare Phasenantwort) aufweist. Das Problem mit kaskadierten Stufen erster Stufe besteht darin, dass diese Konfiguration keine komplex konjugierten Pole bereitstellen kann.

Lassen Sie uns diese Tatsache anhand eines Unity-Gain-Tiefpassfilters als Beispiel untersuchen. Die s-Domänenübertragungsfunktion ist

$$ H (s) = \ frac {1} {s + \ omega_0} $$

Die Kaskadierung von zwei dieser Filter entspricht der Multiplikation der beiden Übertragungsfunktionen:

$$ H (s) = \ frac {1} {s + \ omega_0} \ times \ frac {1} {s + \ omega_0} = \ frac {1} {s ^ 2 + 2 \ omega_0 s + \ omega_0 ^ 2} $ $

Der Begriff, an dem wir uns hier interessieren, ist der 2ω 0 s. Der Nenner einer verallgemeinerten Übertragungsfunktion zweiter Ordnung kann geschrieben werden als

$$ s ^ 2 + \ frac {\ omega_0} {Q} s + \ omega_0 ^ 2 $$

So haben wir

$ \ frac {\ omega_0} {Q} = 2 \ omega_0 \ \ Rightarrow \ Q = 0.5 $$

Das Erste, was hier zu bemerken ist, ist, dass der Q-Faktor nicht eingestellt werden kann, um den Frequenzgang fein abzustimmen. Zwei kaskadierte Filter erster Ordnung haben immer Q = 0, 5 (ferner entspricht Q = 0, 5 einem eher allmählichen Übergang vom Durchlassband zum Sperrband und einer signifikanten Dämpfung im Durchlassband).

Die zweite Sache, die man verstehen sollte, ist, dass man keine komplex konjugierten Pole haben kann, wenn Q 0, 5 ist. Betrachten Sie das folgende Diagramm:

Der Abstand von der imaginären Achse zu einem Pol ist gleich & ohgr; 0 / 2Q, und der Abstand von dem Ursprung zu einem Pol ist & ohgr; 0 ( & ohgr; 0 ist die Polfrequenz). Wenn Q = 0, 5 ist, haben wir & ohgr; 0 / (2 × 0, 5) = & ohgr; 0, und somit ist der Abstand von der imaginären Achse gleich dem Abstand vom Ursprung. Daraus folgt, dass der Pol auf der reellen Achse liegen muss, und folglich gibt es keine Möglichkeit für ein komplex-konjugiertes Paar, weil die Polstelle keinen Imaginärteil hat.

Vielleicht können wir intuitiv aus der Schaltungsimplementation schließen, dass kaskadierte Filter der ersten Ordnungsphase keine Optimierung erlauben. Es ist jedoch hilfreich zu erkennen, dass diese Starrheit an die Abwesenheit von konjugiert komplexen Polen gebunden ist, die unter Verwendung einer echten Stufe zweiter Ordnung erzeugt werden können und die es dem Konstrukteur ermöglichen, einen Filter für eine bestimmte Anwendung zu optimieren.